On the numerical implementation of eht Hilbert uniqueness method for the exact boundary controllability of the wave equation

We present here an alternative to the numerical methodology described in [1] and [2] for the exact boundary controllability of the wave equation, via Dirichlet controls. As in [1] and [2], we use the Hilbert Uniquenenes Method to transform the boundary control problem in a problem of identification of initial conditions for an adjoint wave equation. Then we show via a spectral analysis that we can obtain a discrete identification problem which is uniformely well posed by prescribing the initial data in a finite difference (or element) space associated to a grid twice coarser than the one used for the numerical solution of the wave equations. Numerical experiments confirm this approach and show optimal orders of convergence with respect to the space and time discretization step sizes On presente une alternative a la methodologie numerique decrite dans des travaux precedents pour la controlabilite exacte, par la frontiere, de l'equation des ondes, par des controles de type Dirichlet. Comme avant on utilise la Methode d'Unicite Hilbertienne pour transformer le probleme de controle frontiere en un probleme d'identification de donnees initiales pour une equation des ondes adjointe. On montre alors par une analyse spectrale que l'on peut obtenir un probleme d'identification approche, qui est uniformement bien pose, en prenant les donnees initiales dans un espace de type differences ou elements finis, associe a un maillage deux fois plus large que celui utilise pour la resolution numerique des equations des ondes. Des essais numeriques justifient la nouvelle approche et montrent que l'on obtient des approximations d'ordres optimaux