Die Mengen $G_δ$ in vollständigen Räumen

Herr P. Alexandroff hat den interessanten Satz1) gefun den, dass die in vollstandigen separablen Raumen liegenden Mengen G δ topologisch nichts anderes als vollstandige separable Raume selbst, d. h. mit ihnen homoomorph sind. Da der (loc. cit. nur skizzirte) Beweis nach der eigenen Angabe des Verfassers ziemlich schwierig zu sein scheint, so mochte ich hier einen kurzen und einfachen Beweis mittheilen, uberdies ohne Einschrankung auf separable Raume. Der Satz lautet also: Jede Menge G δ in einem vollstandigen Raum ist mit einem vollstandigen Raum homoomorph.