A recursive formulation of collocation in terms of canonical polynomials

In this paper we discuss two related but analytically different techniques: the collocation method and Ortiz's recursive formulation of the Tau Method. Specifically, we show that it is possible to simulate with the Tau Method collocation approximants for any desired degree. We give a representation for collocation approximants in terms ofshifted canonical polynomials, which are introduced here. We show that in the linear case computing a collocation approximant of orderN by this new approach requiresO(N) arithmetic operations while obtaining the same approximant by the direct approach involvesO(N3). Furthermore, our technique leads to a recursive formulation of collocation. We discuss separately the linear and nonlinear cases and propose a more efficienteconomized approach for the latter.ZusammenfassungWir diskutieren zwei verwandte aber analytisch verschiedene Techniken: Kollokation und die rekursive Formulierung der Tau-Methode von Ortiz. Dabei zeigen wir, dass man mit der Tau-Methode Kollokationsnäherungen beliebigen Grades simulieren kann. Wir stellen Kollokationsnäherungen durch hier eingeführte verschobene kanonische Polynome dar. Wir zeigen, dass die Berechnung einer Kolokationsnäherung der OrdnungN bei diesem Vorgehen im linearen Fall nurO(N) Operationen kostet im Vergleich mitO(N3) Operationen beim direkten Vorgehen. Ausserdem führt unser Vorgehen auf eine rekursive Formulierung der Kollokation. Wir behandeln den linearen und den nichtlinearen Fall und schlagen für letzteren ein effizienteres Vorgehen vor.