Propriétés de lissage et existence de solutions pour l'équation de Benjamin-Ono généralisée

We study the Cauchy problem for the generalized Benjamin-Ono equation (1) ∂ t u−Lu=DV'(u) where L=Dω 2μ , D=d/dx, ω=(−D 2 ) 1/2 , 0 On etudie le probleme de Cauchy pour l'equation de Benjamin-Ono generalisee ∂ t u−Lu=DV'(u) (1), ou L=Dω 2μ , D=d/dx, ω=(−D 2 ) 1/2 , 0<μ≤1 et V∈#7B-C 1 (R,R) avec V(0)=V'(0)=0. On demontre des identites et des estimations de commutateurs qui entrainent que l'equation (1) a des proprietes de lissage analogues a celles de l'equation de Korteweg-de Vries generalisee qui est le cas particulier μ=1. On en deduit que le probleme de Cauchy pour l'equation (1) avec donnee initiale u(0)=u 0 a une solution u∈L ∞ (R,L 2 )∩L loc 2 (R,H loc μ ) pour u 0 ∈L 2 et une solution u∈L ∞ (R,H μ )∩L loc 2 (R,H l0c 2μ ) pour u 0 ∈H μ . On montre que l'equation de Benjamin-Ono usuelle a une solution u∈L ∞ (R,H 1 )∩L loc 2 (R,H loc 3/2 ) pour u 0 ∈H 1