Approche structurelle de quelques problèmes de la théorie des automates

Les travaux developpes dans cette these empruntent trois directions principales. D'une part, une etude attentive des proprietes de l'automate universel d'un langage rationnel a ete menee. Cet automate fini (introduit sous une forme sensiblement differente par J.H. Conway) accepte le langage et a la particularite de contenir l'image par morphisme de n'importe quel automate equivalent. Nous donnons un algorithme pour le construire a partir de l'automate minimal. L'exploitation des proprietes de l'automate universel d'un langage reversible nous a permis de montrer qu'il existe un sous-automate quasi-reversible (a partir duquel on peut facilement construire un automate reversible) de l'automate universel equivalent. De plus, il existe un tel sous-automate sur lequel on peut calculer une expression rationnelle qui represente le langageavec une hauteur d'etoile minimale. D'autre part, nous donnons un algorithme pour decider la sequentialite d'une serie (max,+) ou (min,+) realisee par par un automate sur un alphabet a une lettre. La complexite de cet algorithme ne depend que de la structure de l'automate et non des valeurs des coefficients. Nous presentons aussi un algorithme qui permet de proceder directement a la determinisation d'un automate realisant une serie sequentielle et, si ce n'est pas le cas, a l'obtention d'un automate equivalent non ambigu. Ce dernier point rejoint le resultat de Stephane Gaubert qui montre qu'on peut obtenir une expression (et donc un automate) non ambigue pour n'importe quel serie (max,+) rationnelle sur une lettre. Enfin, nous proposons un algorithme pour construire, a partir d'une expression rationnelle avec multiplicite, un automate qui represente la meme serie. Cet algorithme, qui est la generalisation des travaux d'Antimirov, permet d'obtenir explicitement un ensemble fini d'expressions qui representent un ensemble generateur du semi-module auquel appartiennent les quotients de la serie rationnelle.