A general minimax theorem

This paper is concerned with minimax theorems for two-person zero-sum games (X, Y, f) with payofff and as main result the minimax equality inf supf (x, y)=sup inff (x, y) is obtained under a new condition onf. This condition is based on the concept of averaging functions, i.e. real-valued functionsϕ defined on some subset of the plane with min {x, y}<ϕ (x, y)<max {x, y} forx ≠y andϕ (x, x)=x. After establishing some simple facts on averaging functions, we prove a minimax theorem for payoffsf with the following property: Forf there exist averaging functionsϕ andψ such that for any x1, x2 ∈X, ε > 0 there exists x0 ∈X withf (x0, y) >ϕf (x1,y),f (x2,y))−ε for ally ∈Y, and for any y1, y2 ∈Y, ε > 0 there exists y0 ∈Y withf (x, y0) ⩽ψ (f (x, y1),f (x, y2))+ε. This result contains as a special case the Fan-König result for concave-convex-like payoffs in a general version, when we take linear averaging withϕ (x, y)=λx+(1−λ)y,ψ (x, y)=μx+(1−μ)y, 0 <λ, μ < 1.Then a class of “hide-and-seek” games is introduced, and we derive conditions for applying the minimax result of this paper.ZusammenfassungIn dieser Arbeit werden Minimaxsätze für Zwei-Personen-Nullsummenspiele (X, Y,f) mit Auszahlungsfunktionf behandelt, und als Hauptresultat wird die Gültigkeit der Minimaxgleichung inf supf (x, y)=sup inff (x, y) unter einer neuen Bedingung an f nachgewiesen. Diese Bedingung basiert auf dem Konzept mittelnder Funktionen, d.h. reellwertiger Funktionenϕ, welche auf einer Teilmenge der Ebene definiert sind und dort der Eigenschaft min {x, y} < <ϕ (x, y)<max {x, y} fürx ≠y, ϕ (x, x)=x, genügen. Nach der Herleitung einiger einfacher Aussagen über mittelnde Funktionen beweisen wir einen Minimaxsatz für Auszahlungsfunktionenf mit folgender Eigenschaft: Zuf existieren mittelnde Funktionenϕ undψ, so daß zu beliebigen x1, x2 ∈X, ε > 0 mindestens ein x0 ∈X existiert mitf (x0,y) ⩾ ϕ (f (x1,y),f (x2,y)) −ε für alley ∈Y und zu beliebigen y1, y2 ∈Y, ε > 0 mindestens ein y0 ∈Y existiert mitf (x, y0) ⩽ψ (f (x, y1),f (x, y2))+ε für allex ∈X. Dieses Resultat enthält als Spezialfall den Fan-König'schen Minimaxsatz für konkav-konvev-ähnliche Auszahlungsfunktionen in einer allgemeinen Version, wenn wir lineare Mittelung mitϕ (x, y)=λx+(1−λ)y, ψ (x, y)= μx+(1−μ)y, 0 <λ, μ < 1, betrachten.Es wird eine Klasse von Suchspielen eingeführt, welche mit dem vorstehenden Resultat behandelt werden können.