Die Struktur diskret bewerteter Körper.

Einleitung *). 1. Fragestellung. In der Entwicklung der modernen Algebra spielen bekanntlich zwei verschiedene Gedankenrichtungen eine entscheidende Rolle: Einmal die Tendenz, von jeder Einzeltatsache zu allgemeinen Begriffen aufzusteigen und sie damit als Sonderfall einer nur von wenigen Voraussetzungen abhängigen, einfachen, weitreichenden Theorie zu begreifen *); andererseits aber das Bestreben, von dem so gewonnenen Standpunkt aus umgekehrt die Gesamtheit alles dessen zu überblicken, was den gebildeten abstrakten Begriffen untergeordnet ist, also den Weg vom Allgemeinen zu seinen sämtlichen möglichen Spezialisierungen zurückzufinden ). Die Fragestellung der vorliegenden Arbeit gehört der zweiten dieser Ideenrichtungen an, die man im Gegensatz zu der ersten, häufig als abstrakt oder formal charakterisierten, auch als die konkrete Auffassung innerhalb der modernen Algebra bezeichnen kann. Wir gehen im folgenden aus von dem allgemeinen Begriff des bewerteten Körpers, der bekanntlich aus den Henselschen Untersuchungen über die p-adischen Zahlen erwachsen ist, und beschäftigen uns mit der Aufgabe, sämtliche möglichen Strukturen bewerteter Körper wirklich anzugeben. 2. Präzisierung der Fragestellung. Ein Körper oder noch allgemeiner ein Integritätsbereich heißt bekanntlich nach Kürschak ) bewertet, wenn seinem Nullelement als Betrag die reelle Zahl |0| — 0 und jedem seiner Elemente 0 als Betrag eine reelle Zahl | | > 0 so zugeordnet ist, daß die beiden folgenden für den absoluten Betrag gültigen Rechenregeln bestehen: (1) 1*01 = 1 * 1 1 0 1 , (2) |« + / ? | ^ | « | + | / J | * ) . Dabei spricht man" von der trivialen Bewertung, wenn der Betrag jedes von Null verschiedenen Elements gleich l ist, und von einer nichttrivialen Bewertung, wenn mindestens ein von Null verschiedenes Element mit einem von l verschiedenen Betrag existiert. Der Begriff der Bewertung ist also offenbar nichts anderes als die Übertragung des von