Constructive approaches to the rigidity of frameworks

La theorie de la rigidite etudie l'unicite des realisations des graphes, i.e., des charpentes. Initialement motivee par l'ingenierie des structures, la theorie de la rigidite trouve aujourd'hui des applications dans plusieurs domaines importants comme la prediction de la flexibilite des proteines, la conception assistee par ordinateur, la localisation dans les reseaux des capteurs, etc. Cette these traite une grande variete de problemes concernant differents types de rigidite, qui correspondent a differents niveaux d'unicite (locale/infinitesimale, globale et universelle) dans des modeles varies de charpentes. D'abord, nous developpons des resultats sur la construction recursive et la decomposition des graphes avec des conditions mixtes de sparsite ainsi que des resultats sur le packing des arborescences avec des contraintes de matroide. Ces resultats sont alors utilises pour obtenir des caracterisations de la rigidite infinitesimale des charpentes avec des contraintes mixtes. Nous etudions aussi l'effet des operations d'extension sur des charpentes et etendons un resultat connu sur la preservation de la rigidite globale d'$1$-extension dans les charpentes a direction et a longueur de la dimension deux aux dimensions superieures. Pour la rigidite universelle, un sujet que l'on connait tres peu, nous obtenons une caracterisation complete pour la classe des charpentes biparties completes sur la ligne. Nous generalisons aussi une condition suffisante pour la rigidite universelle des charpentes en permettant des positions non generales.