Multigrid methods for structured grids and their application in particle simulation

Mehrgitterverfahren sind optimale, d.h. linear skalierende, Verfahren zur Losung einer grosen Zahl von Problemen, z.B. von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Viele dieser Anwendungen, z.B. partielle Differentialgleichungen die auf strukturierten Gittern diskretisiert sind, besitzen viel Struktur, die eine effiziente Implementierung des Mehrgitterverfahrens auf seriellen und parallelen Computern erlaubt. Neben der Standard-Theorie fur geometrische Mehrgitterverfahren wurde eine variationelle Theorie von einer Vielzahl von Autoren entwickelt, wobei die variationelle Theorie auf der Verwendung des Galerkin-Grobgitteroperators basiert. In dieser Arbeit werden Mehrgitterverfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme mit strukturierten Koeffizientenmatrizen analysiert. Ein modifiziertes Schema zur Losung der Poissongleichung in unbeschrankten Gebieten wird vorgestellt und sein Fehlerverhalten im Detail analysiert. Diese Methode nutzt eine endliche Anzahl von hierarchischen Vergroberungen und Vergroserungen des Diskretisierungsgitters und Einsetzen von speziellen Randbedingungen auf dem grobsten Level. Ein FAS-artiges Mehrgitterverfahren eignet sich gut zur Losung dieses Problems. Partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und periodischen Randbedingungen die auf equidistanten Gittern diskretisiert sind fuhren auf zirkulante Koeffizientenmatrizen. Daher kann in diesem Fall die vorhandene Theorie fur zirkulante Matrizen angewandt werden. Diese Theorie basiert auf der klassischen Theorie fur algebraische Mehrgitterverfahren, die in diesem Zusammenhang um die Verwendung von nicht-Galerkin-Grobgitteroperatoren erweitert wird. Ein Parallelisierungsansatz fur zirkulante Matrizen basierend auf Gebietszerlegung wird vorgestellt. Die entwickelten Verfahren werden in Partikelsimulationsmethoden, wie sie in vielen Feldern der Physik gebraucht werden, angewandt. Das Problem wird vorgestellt und konsistent in einer Art formuliert, die es erlaubt das Problem durch Losen der Poissongleichung in unbeschrankten oder periodischen Gebieten und eine Nahfeldkorrektur zu behandeln. Motiviert durch Methoden wie P3M basiert diese Umformulierung auf dem Ersatz von Punktladungen durch Distributionen mit beschrankten Trager. Durch die Umformulierung werden keine weiteren Fehler eingefuhrt. Daher ist der Fehler des Gesamtverfahrens nur durch den Diskretisierungsfehler und durch den Interpolationsfehler der verwendeten numerischen Schemata verursacht. Es werden numerische Beispiele fur das FAS-artige Mehrgitterverfahren fur das hierarchisch vergroberten Gitter, fur das Mehrgitterverfahren fur zirkulante Matrizen mit Ersatz des Galerkin-Grobgitteroperators, fur sein paralleles Skalierungsverhalten auf Blue Gene/L und Blue Gene/P und fur die Partikelsimulationsmethode, die das Mehrgitterverfahren nutzt, vorgestellt.