Existence of quasi-periodic orbits for twist homeomorphisms of the annulus

この論文で用いる方法は, Percivalが数値的に準周期軌道を見つけるのに使った方法 [3,4]に 密接に関係している. Percivalは自分の方法で存在定理を証明しなかった. 定理を述べるには,円環自身よりもその普遍被覆Aで仕事する方が都合がよい. A = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ y ≤ 1}とする. T : A → Aを平行移動 T (x, y) = (x + 1, y)とする. f はAの面積保 存, 方向保存, かつ境界成分保存の同相写像であって, fT = Tfを満たすとする. 加えて, y > z なら f(x, y)1 > f(x, z)1と仮定する. ここで p = (x, y) ∈ Aのとき p1 = x と約束する. これが 「ねじれ条件」である. fi = fR × i, i = 0, 1と置く. B = {(x, x′) ∈ R : f0(x) ≤ x′ ≤ f1(x)}とする. ねじれ条件 より, 各 (x, x′) ∈ Bに対して唯一の y = g(x, x′) ∈ [0, 1]および y′ = g′(x, x′) ∈ [0, 1]があって, f(x, y) = (x′, y′)を満たす. 関数 gおよび g′はB上の連続関数である. 任意の同相写像 h : R → Rで h(x+ 1) = h(x) + 1を満たすものに対して