Estimation récursive de la mesure invariante d'un processus de diffusion.

L'objet de la these est l'etude d'un algorithme, simple d'implementation et recursif, permettant de calculer l'integrale d'une fonction par rapport a la probabilite invariante d'un processus solution d'une equation differentielle stochastique de dimension finie. La principale hypothese sur ces solutions (diffusions) est l'existence d'une fonction de Lyapounov garantissant une condition de stabilite. Par le theoreme ergodique on sait que les mesures empiriques de la diffusion convergent vers une mesure invariante. Nous etudions une convergence similaire lorsque la diffusion est discretisee par un schema d'Euler de pas decroissant. Nous prouvons que les mesures empiriques ponderees de ce schema convergent vers la mesure invariante de la diffusion, et qu'il est possible d'integrer des fonctions exponentielles lorsque le coefficient de diffusion est suffisamment petit. De plus, pour une classe de diffusions plus restreinte, nous prouvons la convergence presque sure et dans Lp du schema d'Euler vers la diffusion. Nous obtenons des vitesses de convergence pour les mesures empiriques ponderees et donnons les parametres permettant une vitesse optimale. Nous finissons l'etude de ce schema lorsqu'il y a presence de multiples mesures invariantes. Cette etude se fait en dimension 1, et nous permet de mettre en evidence un lien entre classification de Feller et fonctions de Lyapounov. Dans la derniere partie, nous exposons un nouvel algorithme adaptatif permettant de considerer des problemes plus generaux tels que les systemes Hamiltoniens ou les systemes monotones. Il s'agit de considerer les mesures empiriques d'un schema d'Euler construit a partir d'une suite de pas aleatoires adaptes dominee par une suite decroissant vers 0.

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