Critical thinking of scale-free networks: similarities and differences in power-law random graphs

作为一门新兴交叉科学，诞生于本世纪前夕的网络科学，冲破了随机图论的静态束缚，开启了动态复杂网络研究的新时代。网络科学与随机图论的一个关键不同之处，是(节点)度分布不再局限于像一条钟形曲线那样的泊松分布。这一拓扑结构的变化使得网络功能及其动力学特征涌现出前所未有的属性。无标度网络的发现，是网络科学产生过程中的一个里程碑，因此，正确了解无标度网络的度分布，对于网络科学的进一步发展至关重要。 本文抓住了无标度网络概念的共性，即度分布具有重尾特征，给出了严格的定义和分类。 幂律随机图是指度分布服从精确幂律的一类随机图。无标度网络则宽泛些，只要求度分布尾部按幂律衰减。因为幂律分布或幂律衰减在双对数坐标系上，图形都呈现为一条直线。所以网络文献都据此来判断是否为无标度网络，然而这种推理极易误导读者。如图中所示， 4套数据看似与直线拟合很好，并且尽管有2套数据是无标度网络 (黄色是阿波罗尼斯网络，度指数有争议；绿色来自Barabasi等人研究的节点一致适应度模型)，但没有一套数据有衰减的幂律尾部。可见在理解和判断无标度网络度分布问题上，网络科学共同体还未达成共识。 幂律随机图与无标度网络的相似处是度分布都具有重尾特征。区别在于幂律随机图的度分布服从精确幂律；而无标度网络的度分布可以是任意重尾分布。虽然幂律分布是最具代表性的重尾分布，但重尾分布却不只局限于精确幂律分布。由此会引发一系列问题，例如，基于无标度网络模拟得到的某些网络重要特性与根据精确幂律推导的结果会不一致。史定华教授研究发现幂律随机图属于无标度网络大家庭中最小的子集，而实际的复杂网络往往不在其中。 精确幂律分布有简洁的解析表达式，而任意重尾分布却没有。在研究无标度网络时，人们往往用精确幂律分布替代，从而演绎出许多有争议的命题。另一方面，在网络实证分析时，要么采用在双对数坐标系上画图，要么采用基于连续幂律分布的极大似然估计。这种实证分析结果的可信性值得商榷。为了应对这些挑战，人们需要引入新的计算和统计方法。 本文认为，为了使得网络科学发展成为一门成熟的现代科学，必须在基础理论研究上多费些功夫。