Segmentation d'image par optimisation proximale

Proximal splitting methods for optimization allow to minimize an arbitrary sum of convex functions, by individual application of their gradient or proximity operator. So, the latter must be computable, which forces to split the problem in sufficiently simple functions, at the cost of slow convergence. In this work, we study a robust convex formulation of color image segmentation and we show that the proximity operator, which appears and seems complicated, can be computed exactly and quickly. So, by limiting splitting, we get a much faster convergence. 1 Contexte, motivation et contribution Durant ces dix dernières années, l’essor des méthodes d’optimisation convexe non lisse a essentiellement été guidé par des problématiques de restauration d’image [1–8]. La difficulté majeure consiste alors à proposer des algorithmes permettant de converger vers le minimiseur d’une somme de fonctions ayant des propriétés distinctes, par exemple une fonction différentiable et une fonction non lisse. Ces méthodes procèdent par éclatement (splitting) [9, 10] : elles opèrent en appelant individuellement le gradient ou l’opérateur proximal des fonctions, qui doit donc être calculable. Mais si le nombre de fonctions dont on veut minimiser la somme peut être arbitraire, la convergence est généralement d’autant plus lente que ce nombre est important, autrement dit que l’algorithme est éclaté. On a donc intérêt à regrouper les fonctions. S’il existe de nombreuses formes explicites pour les opérateurs proximaux associées à des fonctions usuelles de la littérature des problèmes inverses [9–11], seuls des configurations bien particulières conduisent à des formes explicites pour une somme de fonctions [12]. Dans ce travail, nous nous intéressons à la fonction suivante. Soit un entier non nul K , un vecteur c ∈ R et une fonction h convexe, semicontinue inférieurement et propre de R dans ]−∞,+∞]. On définit alors la fonction convexe f qui, pour tout p ∈ R vaut