Modelisation Mathematique des Mouvements de Foule

Nous proposons un modele de mouvements de foule basee sur une approche Lagrangienne (chaque personne est traitee individuellement). On s’interessera plus particulierement a la situation suivante : des personnes se trouvent dans une salle pouvant contenir des obstacles (tables,...) et elles veulent se diriger vers la sortie. Le modele propose repose sur deux principes: 1) chaque personne a une vitesse souhaitee, vitesse qu’elle aurait en l’absence des autres. Elle est choisie en fonction de la salle plus precisement en fonction de la position de la sortie, de la presence d’obstacles dans la piece; 2) le deplacement effectif des individus doit respecter une contrainte d’encombrement maximal : les personnes ne peuvent pas se chevaucher ou traverser les obstacles. Dans notre modele, la vitesse reelle de deplacement est definie comme la projection l, de la vitesse souhaitee sur un ensemble de vitesses admissibles. Cette relation entre vitesse reelle et vitesse souhaitee aboutit a une equation d’evolution sur la position : q+A(q) ∋ U ou q est le vecteur position des personnes, U la vitesse souhaitee et A un operateur multivalue (A(q) est le cone normal sortant en q a l’ensemble des vitesses admissibles). Dans des cas tres particuliers, l’ensemble des configurations admissibles Q0 est convexe et par suite, l’operateur A est maximal monotone [1]. Neanmoins, dans un cadre plus general (personnes multiples dans une piece contenant des obstacles), Q0 n’est pas convexe. Ce qui nous conduit a utiliser des resultats recents sur le processus de rafle par des ensembles prox-reguliers [3] [4] [5]. Enfin, nous proposons un schema numerique qui permet de simuler l’evacuation de milliers de personnes hors de salles de geometrie quelconque.