Rational points on some pencils of conics with 6 singular fibres

Soient k un corps de nombres et c E k non carre. Soient f 4 ,f 2 des polynomes homogenes en X, Y, de degre 4 et 2 respectivement. On donne des conditions necessaires et suffisantes pour que l'equation U 2 - cV 2 = U 4 (X,Y)f 2 (X,Y). ait des solutions dans k.