Développement et analyse de méthodes de volumes finis. (Development and analysis of finite volume methods)

Ce document synthetise un ensemble de travaux portant sur le developpement et l'analyse de methodes de volumes finis utilisees pour l'approximation numerique d'equations aux derivees partielles issues de la physique. Le memoire aborde dans sa premiere partie des schemas colocalises de type Godunov d'une part pour les equations de l'electromagnetisme, et d'autre part pour l'equation des ondes acoustiques, avec une etude portant sur la perte de precision de ce schema a bas nombre de Mach. La deuxieme partie est consacree a la construction d'operateurs differentiels discrets sur des maillages bidimensionnels relativement quelconques, en particulier tres deformes ou encore non-conformes, et a leur utilisation pour la discretisation d'equations aux derivees partielles modelisant des phenomenes de diffusion, d'electrostatique et de magnetostatique et d'electromagnetisme par des schemas de type volumes finis en dualite discrete (DDFV) sur maillages decales. La troisieme partie aborde ensuite l'analyse numerique et les estimations d'erreur a priori et a posteriori associees a la discretisation par le schema DDFV de l'equation de Laplace. La quatrieme et derniere partie est consacree a la question de l'ordre de convergence en norme L^2 de la solution numerique du probleme de Laplace, issue d'une discretisation volumes finis en dimension un et en dimension deux sur des maillages presentant des proprietes d'orthogonalite. L'etude met en evidence des conditions necessaires et suffisantes relatives a la geometrie des maillages et a la regularite des donnees du probleme afin d'obtenir la convergence a l'ordre deux de la methode.