Some current methods to represent the heterogeneity of natural media in hydrogeology

Abstract We have known for a long time that the material properties of the subsurface are highly variable in space. We have learned that this variability is due to the extreme complexity and variation with time of processes responsible for the formation of the earth's crust, from plate tectonics to erosion, sediment transport, and deposition, as well as to mechanical, climatic, and diagenetic effects. As geologists, we learned how to "read" this complex history in the rocks and how to try to extrapolate in space what we have understood. As physicists, we then learned that to study flow processes in such media we must apply the laws of continuum mechanics. As mathematicians using analytical methods, we learned that we must simplify by dividing this complex continuum into a small number of units, such as aquifers and aquitards, and describe their properties by (constant) equivalent values. In recent years, as numerical modelers, we learned that we now have the freedom to "discretize" this complex reality and describe it as an ensemble of small homogeneous boxes of continuous media, each of which can have different properties. How do we use this freedom? Is there a need for it? If the answer is "yes," how can we assign different rock-property values to thousands or even millions of such little boxes in our models, to best represent reality, and include confidence levels for each selected rock property? As a tribute to Professor Eugene S. Simpson, with whom the first author of this paper often discussed these questions, we present an overview of three techniques that focus on one property, the rock permeability. We explain the motivation for describing spatial variability and illustrate how to do so by the geostatistical method, the Boolean method, and the genetic method. We discuss their advantages and disadvantages and indicate their present state of development. This is an active field of research and space is limited, so the review is certain to be incomplete, but we hope that it will encourage the development of new ideas and approaches.Résumé On sait depuis longtemps que les propriétés des roches en profondeur sont éminemment variables dans l'espace. On sait que cette variabilité est due à la complexité extrême et à la variation au cours du temps des processus responsables de la formation de la croûte terrestre, de la tectonique des plaques à l'érosion, au transport sédimentaire et au dépôt, sans oublier les effets mécaniques, climatiques et de diagenèse. En tant que géologues, nous avons appris a "lire" cette histoire complexe au sein des roches, et à tenter d'extrapoler dans l'espace notre compréhension. En tant que physiciens, nous avons ensuite appris que pour étudier les écoulements dans de tels milieux, nous devions appliquer les concepts de la mécanique des milieux continus. En tant que mathématiciens utilisant des méthodes analytiques pour résoudre les problèmes d'écoulement, nous avons de plus appris que nous devions simplifier cette réalité complexe en un très petit nombre d'unités, tels que les aquifères et les aquitards, dont chacune est décrite par des propriétés équivalentes constantes. Enfin, dans les années récentes, en tant que numériciens, nous avons appris que nous avions désormais la liberté de "discrétiser" cette réalité complexe, et de la décrire comme un ensemble de petites "boîtes" homogènes de milieu continu, chacune d'entre elles pouvant avoir des propriétés différentes. Comment utilisons nous cette liberté nouvellement acquise? En avons-nous réellement besoin? Si la réponse est "oui", comment pouvons nous attribuer des propriétés différentes aux roches des milliers ou même millions de petites "boîtes" dans nos modèles, pour représenter au mieux la réalité, et comment déterminer les intervalles de confiance des propriétés choisies pour chaque roche? En hommage au Professeur Eugène S. Simpson, avec lequel le premier auteur de cet article a eu souvent l'occasion de discuter de ces questions, nous présentons ici un survol général de quelques techniques de génération de telles propriétés se focalisant sur une seule d'entre elles, la perméabilité des roches. Nous expliquons d'abord quels sont les raisons qui engagent à tenter de décrire la variabilité spatiale, puis nous illustrons trois méthodes pour le faire, la méthode géostatistique, la méthode Booléenne et la méthode génétique. Nous présentons leurs avantages et inconvénients respectifs, et donnons l'état actuel de leur développement. Ces méthodes constituant un domaine de recherche actif, et la place étant ici limitée, ce survol est nécessairement incomplet, mais nous espérons qu'il encouragera l'essor de nouvelles idées et de nouvelles approches.Resumen Sabemos desde hace tiempo que las propiedades del subsuelo son altamente variables espacialmente. Hemos aprendido que esta variabilidad es debida a la extrema complejidad y variabilidad temporal de los procesos responsables de la formación de la corteza terrestre, desde la tectónica de placas a la erosión, transporte de sedimentos y deposición, así como a efectos mecánicos, climáticos y diagenéticos. Como geólogos, hemos aprendido a "leer" esta compleja historia en las rocas y a cómo tratar de extrapolar en el espacio lo que ya sabemos. Como físicos, aprendimos después que para estudiar los procesos en este tipo de medios debemos aplicar las leyes de la mecánica de los medios continuos. Como matemáticos que usan métodos analíticos, hemos aprendido que debemos simplificar el medio dividiéndolo en un número menor de unidades, como serían los acuíferos y acuitardos, y describiendo sus propiedades mediante valores equivalentes (constantes). En los últimos años, como modelistas, también hemos aprendido que tenemos la libertad de "discretizar" esta realidad compleja y describirla como un conjunto de pequeñas cajas homogéneas de medio continuo, cada una con propiedades diferentes. ¿Cómo usamos esta libertad?¿Tenemos necesidad de ella? Si la respuesta es "sí", ¿cómo podemos asignar valores de las distintas propiedades de las rocas a miles e incluso millones de estas pequeñas cajas en nuestros modelos, con la pretensión de representar la realidad, y a la vez dar intervalos de confianza para cada propiedad seleccionada? Como un tributo al Profesor Eugene S. Simpson, con quien el autor de este artículo a menudo discutió sobre estas cuestiones, se presenta una recopilación de tres técnicas que se centran en una propiedad, la permeabilidad de la roca. Se explica la motivación para describir la variabilidad espacial y se ilustra cómo hacerlo mediante el método geoestadístico Booleano y mediante el método genético. Para cada método se discuten sus ventajas e inconvenientes y se indica su estado actual de desarrollo. Se trata éste de un campo activo de investigación y el espacio es limitado, por lo que la revisión es incompleta, pero esperamos que pueda servir para animar el desarrollo de nuevas ideas.