Queueing Systems in a Random Environment

Queueing networks with product-form steady-state distribution have found many fields of applications, e.g. production systems, telecommunications, and computer system modeling. The success of this class of models and its relatives stems from the simple structure of the steady-state distribution which provides access to easy performance evaluation procedures. Starting from the work of Jackson [Jac57] various generalizations have been developed. In real world queueing systems are not isolated and interact with their environment. Adding a random environment to a model usually makes the model more realistic but also more complex to analyze. Nevertheless, under some conditions it is still possible to obtain analytical results. A branch of research which recently has found interest are queueing networks in a random environment with product form steady-state distributions. The main theoretical contributions of this thesis are twofold: (i) We develope a general theory that comprise models with stationary product-form distribution in inventory theory in [Sch04] and Jackson networks with unreliable nodes with stationary product-form distribution in [Sau06]. An important property of the resulting general model is that the queueing system and the environment interact in both directions: the queues can influence the environment and the environment can influences the queues. (ii) With respect to applications we show how different models known from literature can be interpreted in terms of the general theory, construct new models in various applications, and develope an approximation method. In Part I we analyze single-queue systems. In Section 1 we introduce a loss system. In Section 2 we generalize product form lost-sales inventory models from [Sch04] and several other published papers with related models as a loss system with exponential service time. The term loss means that customers get lost when the environment stays in some special states -- the blocking states. In Section 2.1.4 we develop an approximation method for system without loss of customers based on loss systems. In Section 2.2 we apply our loss system results in fields different from inventory management: we analyze in detail an unreliable server with preventive maintenance in Section 2.2.4, a node of a wireless sensor network in Section 2.2.5, and a crusher station in open-pit mining in Section 2.2.6. In Section 3 we analyze the Markov chain embedded at departure instants of the loss system. The embedded Markov chains are an important tool for analyzing queueing system with general service times -- the M/G/1/infinity queues. The famous and frequently used result in classical M/G/1/infinity theory is that the steady-state distribution of an M/G/1/infinity system as continuous time process and as embedded Markov chain, observed at departure times, are the same. We show that this is in general not true for the steady-state distribution of loss systems. We use an embedded Markov chain analysis to extend our results from Section 2 to some loss systems with general service times. In Part II we extend our results for a single-queue loss system to Jackson networks in a random environment. We replace the concept of loss of customers by special rerouting regimes. We establish a connection between these rerouting regimes and randomized random walks. In Section 8 we consider systems where the interaction between environment and queuing system depend on the number of customers in the system. This extension finally allows us to include results about Jackson networks with unreliable nodes from [Sau06] as special cases. Warteschlangennetze, deren stationare Verteilung eine Produktform hat, sind in unterschiedlichen Bereichen angewendet worden, zum Beispiel: Produktionssysteme, Telekommunikation und Modellierung von Rechnersystemen. Ihren Erfolg haben sie ihrer einfachen Struktur der stationarer Verteilung zu verdanken. Sie vereinfacht die Analyse von Leistungskenngrosen der zu modellierenden Systeme. Aufbauend auf der grundlegenden Arbeit von Jackson [Jac57] wurden weitere Verallgemeinerungen entwickelt. In der realen Welt sind Warteschlangensysteme nie isoliert. Sie befinden sich in einer Umgebung, mit der sie interagieren. Das Hinzufugen einer Umgebung zu einem reinen Warteschlangenmodell fuhrt haufig zu einem besseren Gesamtmodell. Gleichzeitig wird die mathematische Analyse dieses Modells schwieriger und komplexer. Unter speziellen Bedingungen ist es dennoch moglich, fur derartige Systeme analytische Losungen zu erhalten. Viele solche Systeme, gehoren zu Warteschlangennetzwerken in einer zufalligen Umgebung, deren stationare Verteilung eine Produktform hat. Die Hauptbeitrage dieser Dissertation liegen in zwei Bereichen: (i) Wir entwickeln eine allgemeine Theorie, die Modelle mit stationarer Produktformverteilung aus den Lagerhaltungsmodellen aus [Sch04] und Jackson-Netzwerke mit unzuverlassigen Knoten mit stationarer Produktformverteilung aus [Sau06] gleichzeitig umfast. Eine wichtige Eigenschaft dieses allgemeinen Modells ist, dass die Warteschlangensysteme und die Umgebung sich gegenseitig beeinflussen: die Warteschlangen konnen die Umgebung beeinflussen und die Umgebung die Warteschlangen. (ii) Auf Anwendungen bezogen, zeigen wir, dass viele aus der Literatur bereits bekannte Modelle sich mit Hilfe dieser allgemeinen Theorie darstellen lassen. Wir stellen neue Modelle fur unterschiedliche Bereiche vor und entwickeln ein Naherungsverfahren. In Teil I untersuchen wir Systeme mit einer einzigen Warteschlange. In Abschnitt 2 stellen wir ein Verlustsystem (loss system) vor . In Abschnitt 2verallgemeinern wir Lagerhaltungsmodelle mit Kundenverlust aus [Sch04] und mehrere ahnliche publizierte Modelle. Diese Verallgemeinerung bezeichnen wir als Verlustsystem. Der Bergriff Verlust (loss) bezieht sich auf die Modellannahme, dass Kunden verlorengehen, solange die Umgebung in sogenannten blockierenden Zustanden ist. In Abschnitt 2.1.4 entwickeln wir ein Naherungsverfahren fur Systeme ohne Kundenverlust, das auf Systemen mit Kundenverlust basiert. In Abschnitt 2.2 nutzen wir Ergebnisse fur Verlustsysteme in anderen Bereichen auserhalb der Lagerhaltung: wir untersuchen detailliert ein Warteschlangensystem mit einem unzuverlassigen Bediener mit praventiver Wartung in Abschnitt 2.2.4, einen Knoten in einem drahtlosen Sensornetzwerk in Abschnitt 2.2.5 und eine Zerkleinerungsanlage im Bergbau in Abschnitt 2.2.6. In Abschnitt 3 untersuchen wir eingebettete, zu Kundenabgangszeiten beobachtete, Markov-Ketten von Verlustsystemen. Eingebetteten Markov-Ketten sind ein wichtiges Werkzeug fur die Untersuchung der Warteschlangensysteme mit allgemeinen Bedienzeitverteilungen, das heist Warteschlangensysteme vom Typ M/G/1/Unendlich. Ein bekanntes und haufig benutztes Ergebnis in der klassischen M/G/1/Unendlich Theorie ist, dass fur ein M/G/1/Unendlich System die stationaren Verteilungen des Prozesses in stetiger Zeit und dijenige der eingebetteten Markov-Kette, betrachtet zu Kundenabgangszeiten, ubereinstimmen. Wir zeigen, dass dies fur die stationaren Verteilungen eines Verlustsystems im Allgemeinen nicht gilt. Wir benutzen Markov-Ketten-Methoden um unsere Ergebnisse fur exponentielle Bedienzeiten aus Abschnitt 2 in einigen Fallen auf Systeme mit allgemeiner Bedienzeit zu erweitern. In Teil II erweitern wir unsere Ergebnisse fur Verlustsysteme mit einer Warteschlange zu Jackson-Netzwerken in zufalliger Umgebung. Wir ersetzen das Konzept des Kundenverlustes durch spezielle Reroutingregeln. Wir stellen einen Zusammenhang her zwischen unterschiedlichen Reroutingregeln und randomisierten Irrfahrten. Zum Schluss, in Abschnitt 8, erlauben wir zusatzlich, dass die Wechselwirkung zwischen der Umgebung und dem Warteschlangennetz von der Kundenzahl im Gesamtsystem abhangen kann. Diese Erweiterung ermoglicht es, die Ergebnisse uber Jackson-Netzwerke mit unzuverlassigen Knoten aus [Sau06] als Spezialfalle der gemeinsamen Theorie zu erfassen.