On control-constrained parabolic optimal control problems on evolving surfaces - theory and variational discretization

We investigate linear-quadratic parabolic optimal control problems on evolving material hypersurfaces. In addition, we present a globalized Newton method for elliptic optimal control problems on stationary surfaces. We consider parabolic state equations in their weak form and define unique weak solutions for the state equation under low regularity assumptions. In particular we allow for initial values y0 ∈ L2(Γ(0)). The idea is to introduce distributional material derivatives and a W(0,T)-like solution space. Both in the stationary and the instationary case each surface is approximated by a triangulation Γh on which a finite element scheme for the state equation is formulated. The approximation error of this discretization of the state equation decomposes into a finite element error, arising from the projection onto a finite dimensional Ansatz space, and a geometrical part which is due to the approximation of Γ by Γh. We prove convergence results for the parabolic equations under weak regularity assumptions. The state equations define linear control-to-state operators. Using these, we formulate control constrained optimal control problems along with their necessary optimality conditions where the adjoint state equations appear. The optimal control problems are subjected to variational discretization by replacing Γ and the state equation by their finite dimensional approximations. The variationally discretized problems are amenable to an implementable semismooth Newton algorithm. In both cases we prove convergence of the discretized optimal controls. In the elliptic case we also discuss in some detail the implementation of a globalized semismooth Newton algorithm for the control problem, involving a new merit function. In the parabolic setting a suitable scalar product is formulated in order to arrive at an easily computable discrete adjoint scheme. Our analytical findings are complemented with numerical examples. Wir untersuchen linear-quadratische Optimalsteuerungsprobleme auf sich bewegenden Flachen. Zusatzlich geben wir ein globalisiertes semiglattes Newtonverfahren fur elliptische Optimalsteuerungsprobleme auf stationaren Flachen an. Wir betrachten parabolische Zustandsgleichungen in schwacher Form. Wir definieren eindeutige Losungen der Zustandsgleichung unter geringen Regularitatsannahmen. Insbesondere berucksichtigen wir Anfangswerte mit niedriger Regularitat y0 ∈ L2(Γ(0)). Hierzu werden schwache Materialableitungen und ein W(0,T)-artiger Losungsraum eingefuhrt. Sowohl im parabolischen als auch im elliptischen Fall wird die Zustandsgleichung mittels eines Finite-Element Ansatzes auf Triangulierungen Γh der Flachen Γ diskretisiert. Der damit verbundene Approximationsfehler zerfallt in einen Finite-Element Anteil, der aus der Projektion auf einen endlichdimensionalen Ansatzraum resultiert, und einen geometrischen Anteil, der der Diskretisierung von Γ durch Γh Rechnung tragt. Wir beweisen Konvergenzaussagen fur die Diskretisierung der parabolischen Gleichung unter schwachen Regularitatsannahmen. Mit den Zustandsgleichungen lassen sich kontrollbeschrankte Optimalsteuerungsprobleme formulieren. Diese diskretisieren wir variationell, indem wir Γ und die Zustandsgleichung durch ihre jeweiligen diskreten Approximationen ersetzen. Das variationell diskretisierte Problem kann dann mittels eines semiglatten Newtonalgorithmus gelost werden. In beiden Fallen werden optimale Konvergenzordnung fur die Kontrollen bewiesen. Im elliptischen Fall geben wir zudem eine Globalisierung des Newtonverfahrens an, die auf einer neuen Bewertungsfunktion beruht. Im parabolischen Fall wird das L2-Skalarprodukt in geeigneter Weise diskretisiert, um einen implementierbaren adjungierten Losungsoperator zu erhalten. Die analytischen Betrachtungen werden durch numerische Beispiele erganzt.