Détection de structure géométrique dans les nuages de points. (Geometric structure detection in point clouds)

Cette these s'inscrit dans la problematique generale de l'inference geometrique. Etant donne un objet qu'on ne connait qu'a travers un echantillon fini, a partir de quelle qualite d'echantillonage peut-on estimer de maniere fiable certaines de ses proprietes geometriques ou topologique? L'estimation de la topologie est maintenant un domaine assez mur. La plupart des methodes existantes sont fondees sur la notion de fonction distance. Nous utilisons cette approche pour estimer certaines notions de courbure dues a Federer, definies pour une classe assez generale d'objets non lisses. Nous introduisons une version approchee de ces courbures dont nous etudions la stabilite ainsi que calcul pratique dans le cas discret. Une version anisotrope de ces mesures de courbure permet en pratique d'estimer le lieu et la direction des aretes vives d'une surface lisse par morceaux echantillonnee par un nuage de point. En chemin nous sommes amenes a etudier certaines proprietes de regularite de la fonction distance, comme le volume de l'axe median. Un defaut des methodes qui utilisent la fonction distance est leur extreme sensibilite aux points aberrants. Pour resoudre ce probleme, nous sortons du cadre purement geometrique en remplacant les compacts par des mesures de probabilite. Nous introduisons une notion de fonction distance a une mesure, robuste aux perturbations Wasserstein (et donc aux points aberrants) et qui partage certaines proprietes de regularite et de stabilite avec la fonction distance usuelle. Grâce a ces proprietes, il est possible d'etendre de nombreux theoremes d'inference geometrique a ce cadre.