Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietes spheriques

o . Introduction. De nombreux problèmes de géométrie énumérative concernent un espace homogène : par exemple les sous-espaces linéaires de dimension donnée d'un espace projectif, ou les quadriques non singulières . On cherche le nombre de points de cet espace qui satisfont à certaines conditions. Celles-ci peuvent être, pour un espace linéaire, d'avoir un contact d'ordre donné avec une courbe ; pour une conique, de passer par un point ou d'être tangente à une droite . . . Le théorème de transversalité de Kleiman [Kl1] a pemis de donner un sens à ces problèmes, qui reviennent à intersecter des translatés génériques de sous-variétés de l'espace homogène G/H. Ensuite, DeConcini et Procesi ont défini le groupe des conditions C* (G/H), muni du produit d'intersection [DP II] . Dans le cas où G/H est un espace symétrique (i.e . G est réductif, et H est le sous-groupe des points fixes d'un automorphisme involutif de G), ils ont muni le groupe C*(G/H) d'une structure (naturelle) d'anneau. Celui-ci est canoniquement isomorphe à une limite d'anneaux de Chow de compactifications G-équivariantes de G/H . Parmi ces compactifications, baptisées "variétés symétriques complètes", on en distingue une plus jolie que les autres . Pour l'espace symétrique des coniques dans le plan, il s'agit de la variété des "coniques complètes", dont la construction remonte à Chastes . DeConcini et Procesi ont donné un algorithme permettant de calculer les nombres caractéristiques de cette compactification canonique X, c'est-à-dire les nombres d'intersection des diviseurs de X [DP I]. En outre, ils ont décrit l'anneau de Chow (qui coïncide avec l'algèbre de cohomologie) de certaines variétés symétriques lisses et complètes [DP], [DGMP] . Le groupe des conditions d'une variété de drapeaux généralisée, c'est-à-dire d'un espace homogène complet G/H, est aussi isomorphe à l'anneau de Chow de G/H ; ce dernier est bien connu, grâce au "calcul de Schubert". Variétés de drapeaux et variétés symétriques sont des cas particuliers de variétés appelées sphériques : dans elles opère un groupe réductif G, dont un sous-groupe de Borel a une orbite ouverte . La géométrie algébrique classique fournit d'autres exemples de variétés sphériques, ni symétriques ni homogènes complètes : citons les coniques dans un espace projectif de dimension n, les variétés déterminantielles . . . Pour tout espace homogène sphérique G/H, le groupe C*(G/H) est encore muni d'une structure d'anneau, canoniquement isomorphe à une limite d'anneaux de Chow de G-compactifications de G/H : en effet la démonstration de [DP II] se transcrit sans changement . Un problème naturel est donc décrire l'algèbre de cohomologie d'une variété sphérique (lisse, complète) .