Über stabilitätserhaltende Abbildungen und Ljapunovsche Funktionen.

1. K rzlich hat Herr J. Thomas [3] Bedingungen daf r aufgestellt, da ein Hom omorphismus y — /(£, x) eine in dem metrischen Phasenraum X stabile Bewegung x(t) in eine stabile Bewegung y(t) des Raumes Υ berf hrt. Ich leite nachstehend auf einem anderen Wege Bedingungen f r Erhaltung der Stabilit t und der Instabilit t ab und zwar f r Abbildungen, die nicht notwendig Hom omorphismen sind. Es ergibt sich dabei ein Zusammenhang mit der direkten Methode von Ljapunov; die Ljapunovsche Funktion des sogenannten ersten Hauptsatzes der Stabilit t kann beispielsweise als eine instabilit tserhaltende Abbildung von X in die reelle Achse gedeutet werden. Ich benutze au er den von Herrn Thomas eingef hrten Bezeichnungen die folgenden f r die Formulierung n tzlichen Begriffe. a) Eine reelle stetige Funktion φ (r) der reellen Variablen r geh rt zur Klasse K (99 (r) ζ. jfiT), wenn 99 (0) = 0 ist und φ (r) f r 0 ̂ r <Ξ rl < oo eigentlich monoton w chst. b) Eine reelle stetige Funktion κ (s) der reellen Variablen s geh rt zur Klasse L (κ (s) € L), wenn sie f r 0 <] s1 ̂ s < oo eigentlich monoton abnimmt und mit wachsendem s gegen Null strebt (lim κ (s) = 0 f r s -> oo). Diese Funktionen besitzen folgende Eigenschaften: c) Aus φ (r) € K, ψ (r) t K, κ (s) 6 L, folgt φ (ψ (r)) t K, φ (κ (s)) € L. d) Es sei ψ (r) € J£, φ (r) € K, κ (s) € L, und r1? sl seien die in den Definitionen auftretenden Zahlen. Dann ist