Lyapounov exponents of products of random matrices : weak disorder expansion. Application to localisation

We derive the weak disorder expansion of the Lyapounov exponents of a product of random matrices. The condition for this expansion to be valid is that in the limit of zero disorder, the matrix has all its eigenvalues with different moduli. As an example we study the problem of localisation on strips in the limit of weak disorder. We show that our expansion agrees very well with numerical simulations in the region where the condition on the moduli is satisfied which corresponds to energies outside the conduction band. In that region, we find a limiting density of Lyapounov exponents when the strip width goes to infinity. Inside the band, our expansion cannot be valid unless one adds an imaginary part to the energy Pour le cas d'un desordre faible, developpement des exposants de Lyapounov d'un produit de matrices aleatoires, valable quand les valeurs propres de la matrice en l'absence de desordre ont toutes des modules differents. Application a l'etude de la localisation des electrons sur des rubans. Bon accord avec les calculs numeriques quand la condition sur les modules est satisfaite, ce qui correspond a des energies en dehors de la bande de conduction du systeme pur. Pour ces energies, obtention d'une densite limite des exposants de Lyapounov quand la largeur du ruban augmente. Validite du developpement a l'interieur de la bande si une partie imaginaire est ajoutee a l'energie