Multivariate B-Splines

Das Konzept der B-Splines mehrerer Veranderlichen beruht auf einer von Schoenberg 1966 bewiesenen Formel fur B-Splines in einer Variablen: SATZ 13a: Sei $$ \operatorname{P} :{{\operatorname{IR} }^{\operatorname{n} }} \to \operatorname{IR} ,y \mapsto y(1) $$ und σ:= [v0,…,vn] ein Simplex im IRn. Dann ist $$ {\operatorname{M} _\sigma }(\operatorname{X} ): = {\text{vo}}{{\text{l}}_{{\text{n - 1}}}}(\sigma \cap {\operatorname{P} ^{ - 1}}(\operatorname{X} )) $$ ein B-Spline der Ordnung n mit den Knoten Pv0,Pv1,…,Pvn. (vgl. Figur 13.I).