New High‐Order Runge‐Kutta Formulas with an Arbitrarily Small Truncation Error

New high-order Runge-Kutta formulas for systems of first- and second-order differential equations are derived. These new formulas, although similar to earlier formulas of the author, offer the advantage of a greatly reduced truncation error. By the proper choice of a parameter the leading term of the truncation error can be made arbitrarily small (but not zero) without increase of the overall computational expense per step, as compared with the earlier formulas. 24-digit tables for the new Runge-Kutta coefficients are presented for 8-th through 12-th order formulas. Two examples demonstrate the advantage of the new formulas as expressed in a substantial reduction of the number of required integration steps and, therefore, of the total computer running time as well. Neue Runge-Kutta-Formeln hoher Ordnung fur Systeme von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung werden hergeleitet. Diese Formeln ahneln fruheren Formeln des Verfassers, besitzen jedoch einen stark reduzierten Abbrechfehler. Denn durch geeignete Wahl eines Parameterwertes kann das erste Glied des Abbrechfehlers dieses neuen Formeln beliebig klein (aber nicht Null) gemacht werden, ohne das der Gesamtarbeitsaufwand pro Integrationsschritt gegenuber den fruheren Formeln vergrosert wird. Fur Formeln achter bis zwolfter Ordnung sind die neuen Runge-Kutta-Koeffizienten auf 24 Dezimalen genau tabuliert. Zwei Beispiele zeigen den Vorzug der neuen Formeln, der sich in einer wesentlichen Herabsetzung der Zahl der erforderlichen Integrationsschritte und damit auch der Rechenzeit auf der Rechenanlage fuhlbar macht.