Beyond Perfection: On Relaxations and Superclasses

H a b i l i t a t i o n s s c h r i f t zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium habilitatus Färbungszahl χ(G) eines Graphen ist jedoch i.a. NP-schwer. Die Cliquen-zahl ω(G) ist eine natürliche untere Schranke für χ(G); für perfekte Graphen G gilt stets Gleichheit (für alle induzierten Untergraphen), im Allgemeinen können die beiden Parameter jedoch beliebig weit auseinander liegen [70]. Eine natürliche Frage ist also, für welche Graphenklassen die Differenz zwi-schen Cliquenzahl ω(G) und Färbungszahl χ(G) unter Kontrolle ist. Wir be-schäftigen uns mit zwei Konzepten, um diese Frage zu beantworten: oberen Schranken für χ(G) als Funktion von ω(G) und dem Imperfektheitsgrad eines Graphen. iii iv Eine Graphenklasse G ist χ-bound mit Bindingfunktion b, falls χ(G ′) ≤ b(ω(G ′)) für alle induzierten Untergraphen G ′ von Graphen G ∈ G gilt [51]. Perfekte Graphen sind genau die Graphen mit Bindingfunktion b(x) = x und Klassen mit linearer Bindingfunktion b(x) = bx + c habenähnlich gute Färbungseigenschaften. Wir untersuchen in Kapitel 2 verschiedene Klassen mit Bindingfunktion b(x) = x + 1. Gerke und McDiarmid führten in [45] alsähnliches Konzept den Imper-fektheitsgrad eines Graphen G ein als imp(G) = max χ f (G, c) ω(G, c) | c : V (G) → N \ {0} wobei χ f (G, c) die fraktionale gewichtete Färbungszahl und ω(G, c) die ge-wichtete Cliquenzahl ist. Jeder perfekte Graph G hat imp(G) = 1 und alle Graphen mit einem kleinen Imperfektheitsgrad können als 'fast per-fekt' angesehen werden. Wir geben für einige Klassen obere Schranken für den Imperfektheitsgrad an, siehe Sektion 5.2. Weiter leiten wir für Klassen mit unbeschränktem Imperfektheitsgrad eine hinreichende Bedingung für die Nichtexistenz von Bindingfunktionen her, siehe Sektion 2.3.