Algorithmique efficace pour des opérations de base en calcul formel. (Fast algorithms for basic operations in computer algebra)

Le sujet de cette these est la conception et l'implantation d'algorithmes efficaces pour des operations de base en calcul formel, ainsi que leurs applications a des domaines connexes, comme la theorie algorithmique des nombres et la cryptographie. Une premiere partie traite de l'algorithmique de base sur les polynomes a une variable. L'outil systematiquement mis en oeuvre est une version constructive du principe de transposition de Tellegen, qui permet d'obtenir de nouveaux algorithmes pour l'evaluation multipoint et l'interpolation (dans diverses bases polynomiales et pour diverses familles de points d'evaluation), ainsi qu'un theoreme d'equivalence entre les complexites de ces deux problemes. La deuxieme partie est consacree a l'algorithmique des nombres algebriques. Nous etudions d'abord certaines operations elementaires, comme la somme, le produit et leur generalisation, le produit diamant de Brawley et Carlitz. Leur calcul repose sur l'utilisation de l'operateur de Newton formel et de la dualite algebrique, traduite algorithmiquement par l'emploi du principe de transposition et des methodes de type pas de bebes / pas de geants. Ces methodes sont ensuite generalisees au cadre des systemes de polynomes de dimension zero, pour le calcul de polynomes minimaux dans des algebres quotient, ainsi que de parametrisations rationnelles. Dans la troisieme partie, nous etudions la question du calcul d'un terme d'une suite recurrente lineaire a coefficients polynomiaux. Comme application, nous obtenons des ameliorations theoriques et pratiques des methodes de comptage de points utilisees en cryptographie. Nous proposons ensuite une methode de type evaluation-interpolation pour certaines operations usuelles sur les operateurs differentiels lineaires a coefficients polynomiaux.