On a conjecture concerning helly circle graphs

Dizemos que G e um grafo e-circular se existe uma bijecao entre seus vertices e retas no plano cartesiano de forma que dois vertices sao adjacentes em G se e somente se as retas correspondentes se intersectam dentro do circulo de raio unitario centrado na origem. Esta definicao sugere um metodo para decidir se um dado grafo G e um grafo e-circular, construindo convenientemente um sistema S de equacoes e inequacoes que representa a estrutura de G, de tal modo que G e um grafo e-circular se e somente se S tem solucao. Em realidade, grafos e-circulares sao exatamente os grafos circulares (grafos de intersecao de cordas em um circulo), e portanto este metodo fornece um modo analitico de reconhecimento de grafos circulares. Um grafo G e circular Helly se G e um grafo circular e existe um modelo de cordas de G tal que em todo grupo de tres cordas mutuamente intersectantes existe um ponto comum a todas elas. Uma conjectura de Duran (2000) afirma que G e um grafo circular Helly se e somente se G e um grafo circular e nao contem diamantes induzidos (um diamante e um grafo formado por quatro vertices e cinco arestas). Muitas tentativas infrutiferas - baseadas principalmente em abordagens combinatorias e geometricas - foram realizadas para tentar validar a conjectura. Neste trabalho, utilizamos as ideias subjacentes a definicao de grafos e-circulares e reformulamos a conjectura em termos de uma equivalencia entre dois sistemas de equacoes e inequacoes, fornecendo uma nova ferramenta analitica para trata-la.