Zwei Integralgleichungen erster Art, die sich mit Hilfe Mathieuscher Funktionen lösen lassen

SummaryThe author investigates the integral equation of the first kind with the kernel $$A J_0 [k(\cos \alpha - \cos \beta )] + B N_0 (k|\cos \alpha - \cos \beta |).$$ This kernel is shown to have the even Mathieu functions as eigenfunctions. A method suitable for numerical computation of the corresponding eigenvalues is given, and the solution of the integral equation from the obtained results is outlined. By partial differentiation of the kernel with respect to β an equation is obtained which may be solved using the previous results. Both equations appear either in the theory of diffraction of sound or light by slit of infinite length or in the theory of a thin airfoil oscillating in a compressible fluid.RésuméOn présente une étude de l'équation intégrale de première espèce ayant pour noyau $$A J_0 [k(\cos \alpha - \cos \beta )] + B N_0 (k|\cos \alpha - \cos \beta |).$$ On montre que ce noyau a pour fonctions propres les fonctions deMathieu paires. On donne une méthode de calcul des valeurs propres associées appopriée à un calcul numérique, et on indique le moyen de parvenir à la solution de l'équation intégrale en utilisant les résultats obtenus. Par différentiation partielle du noyau par rapport à β on obtient une équation apparentée à l'équation considérée et dont la solution se déduit d'une manière relativement simple de la solution do cette dernière. Les deux équations interviennent dans le traitement de la diffraction des ondes sonores ou lumineuses par une fente infiniment longue et dans le calcul des forces aérodynamiques mises en jeu par un profil mince oscillant harmoniquement dans un milieu compressible.