Géométrie différentielle des fibrés vectoriels et algèbres de Clifford appliquées au traitement d'images multicanaux. (Differential geometry of vector bundles and Clifford algebras applied to multi-channels image processing)

Le sujet de cette these est l'apport d'applications du formalisme des algebres de Clifford au traitement d'images multicanaux. Nous y introduisons egalement l'utilisation du cadre des fibres vectoriels en traitement d'image. La Partie 1 est consacree a la segmentation d'images multicanaux. Nous generalisons l'approche de Di Zenzo pour la detection de contours en construisant des tenseurs metriques adaptes au choix de la segmentation. En utilisant le cadre des fibres en algebres de Clifford, nous montrons que le choix d'une segmentation d'une image est directement lie au choix d'une metrique, d'une connexion et d'une section sur un tel fibre. La Partie 2 est consacree a la regularisation. Nous utilisons le cadre des equations de la chaleur associees a des Laplaciens generalises sur des fibres vectoriels. Le resultat principal que nous obtenons est qu'en considerant l'equation de la chaleur associee a l'operateur de Hodge sur le fibre de Clifford d'une variete Riemannienne bien choisie, nous obtenons un cadre global pour regulariser de maniere anisotrope des images (videos) multicanaux, et des champs s'y rapportant tels des champs de vecteurs ou des champs de reperes orthonormes. Enfin, dans la Partie 3, nous nous interessons a l'analyse spectrale via la definition d'une transformee de Fourier d'une image multicanaux. Cette definition repose sur une theorie abstraite de la transformee de Fourier basee sur la notion de representation de groupe. De ce point de vue, la transformee de Fourier usuelle pour les images en niveau de gris est basee sur les representations irreductibles du groupe des translations du plan. Nous l'etendons aux images multicanaux en lui associant les representations reductibles de ce groupe.