Topologies sur des Espaces Ordonnés

— Wefirst study the topological properties ofspaces of infinité words (or trees) when equipped with an already classical metric, where for example the distance between two trees is charac ter istic ofthe depth un til they are identicaL We then compare the continuityfor this me trie, and the "weak" continuity {where least upper bounds ofincreasing séquences arepreserved). A secondpart présents a new topology, called left topology, and establishes a sufficient condition such that the weak continuous functions are exactly the increasing and continuous ones. Une branche de la sémantique des langages de programmation se développe depuis un certain nombre d'années autour de la notion de « calcul infini » (cf. l'article [9] de D. Scott, 1971). Une première voie a conduit à l'utilisation de c. p. o. (ensembles partiellement ordonnés, où toute suite croissante possède une borne supérieure), et de fonctions dites « continues », ou « faiblement continues », qui conservent les bornes supérieures de suites croissantes. Il s'agit des « sémantiques de points fixes » : voir en particulier [8 et 10]. Ce point de vue a conduit aux succès que l'on sait, mais se prête mal à une extension au non-déterminisme. A. Arnold et M. Nivat ont été alors amenés à définir une métrique sur les mots (ou les arbres) infinis '.voir [1]. Cette nouvelle approche de la notion de calcul infini conduit en particulier à la notion d'adhérence d'un langage (cf. [7]), et suscite de nombreux travaux. Le présent article se propose de comparer les notions de fonctions continues qu'on rencontre dans ces deux approches. La métrique qui y est définie est, aux (*) Reçu décembre 1979, révisé en avril 1981. (*) Université de Poitiers, Laboratoire d'Informatique, Bâtiment L, 40, avenue du Recteur Pineau, 86022 Poitiers Cedex, France. R.A.I.R.O. Informatique théorique/Theoretical Informaties, 0399-0540/1982/165/$ 5.00 © AFCET-Bordas-Dunod