Transitivitätsfragen bei linearen Liegruppen

Einleitung. Sei K der KSrper der reellen oder komplexen Zah]en oder der (reellen) Quaternionen. Es werden hier diejenigen Lie-Untergruppen der Gruppen GL (n, K) gefunden, welche in einem bestimmten Sinn ,,grol]" sind, n~mlieh gewisse Transitivit~tseigenschaften haben. Genauer gesagt, geht es darum, f'fir gewisse Mannigfaltigkeiten M, auf denen eine abgeschlossene Untergruppe Go yon GL(n, K) in natiirlicher Weise (transitiv) operiert, alle auf M transitiven Lie-Untergruppen G yon Go zu bestimmen. Als M werden bier die Gral3mann'schen Manni~oSaltigkeiten yon K n sowie projektive Quadriken yon Bilinearformen auf K n zugelassen. Ausgangspunkt war ein Resultat yon Tits [9, IV.C], worin die auf dem projektiven Raum yon K n transitiven, abgeschlossenen Untergruppen yon GL (n, K) bestimmt werden (mit Hilfe der Darstellungstheorie halbeinfacher Liealgebren). Mit Mitteln der algebraischen Topologie gelang es Oniw f'fir jede transitive Wirkung einer kompakten, lokal-einfachen Liegruppe alle transitiven Lie-Untergruppen festzustellen [5, 4]; sowie fiir gewisse kompakte Ma~nnigfaltigkeiten alle transitiven Liegruppen-Wirkungen darauf zu bestimmen [7]. Aus diesen allgemeineren Resultaten ergibt sieh die L5sung obigen Problems f'tir den Fall, dal3 M eine Gra~mann'sehe Mannigfaltigkeit yon K n ist oder die projektive Quadrik einer komplexen quadratischen Form. Ferner hat Wolf diejenigen abgeschlossenen Untergruppen der Invarianzgruppen yon (niehtdegenerierten) reellen quadratisehen Formen festgestellt, welche transitiv wirkea auf den Zusammenhangskomponenten der Menge aller isotropen Vektoren und der Menge aller Vektoren yore ,,L~ngenquadrat" 1 [10, 3]. Hier wird nun im wesentlichen obiges Problem gelSst ffir den Fall, dal3 M die projektive Quadrik einer (nichtdegenerierten) reellen quadratisehen Form ist. Zu Begirm wird kurz dargestellt, wie der Fall der Gragmann-l~Iannigfaltigkeiten und komplexen Quadriken aus den Resultaten yon Oniw folgt. Ich bedanke reich bei Herrn Prof. K. Strambach, unter dessen Anleitung die dieser Note zugrundeliegende Diplomarbeit entstand.