Squelettes et graphes de Voronoï 2D et 3D. (2D and 3D skeletons and Voronoi graphs)

Notre travail concerne l'etude, le calcul et la simplification des squelettes d'objets 2D et 3D. Le squelette d'un objet est une figure mince, centree dans la forme et qui en resume l'aspect. Il est utile pour la description et la reconnaissance de formes, la quantification, la mise en correspondance, etc. Dans un premier temps, nous recensons les differentes techniques de calcul du squelette. La tres grande majorite d'entre elles travaille sur des images binaires avec des outils de la geometrie discrete. Or, dernierement, une nouvelle famille de methodes, appelees methodes continues a vu le jour. Le squelette est approche a l'aide du graphe de Voronoi d'un echantillonnage de la frontiere, et se calcule par des moyens propres a la geometrie algorithmique. Notre interet s'est porte sur cette nouvelle approche et les problemes qui s'y rattache. Pour commencer, nous proposons une formulation des methodes continues a l'aide du squelette d'une union finie de spheres. En effet, nous montrons que le squelette d'une union finie de spheres se construit de facon exacte a l'aide d'elements tres simples comme des segments de droite en 2D et des polygones en 3D. La construction du squelette necessite de pouvoir interpoler par des facettes triangulaires un ensemble de points localises sur la frontiere d'un objet. Nous proposons une methode, fondee sur le calcul du graphe de Delaunay et dont nous montrons la convergence en 2D. Enfin, des methodes de simplification du squelette sont presentees. Elles permettent de selectionner les branches correspondant a des renflements significatifs de la forme et conduisent en 3D soit a des squelettes surfaciques, soit a des squelettes filiformes selon les besoins de l'utilisateur. Pour finir, nous decrivons une application qui valide notre approche, et l'illustre sur des donnees biologiques.