An existence theorem for invariant manifolds

AbstractFor systems of the form $$\dot x$$ =Ax +F1(x, y, z), $$\dot y$$ =By +F2(x, y,z), $$\dot z$$ =Cz +F3(x, y, z) possessingP = {(0,0,z)} as invariant manifold we present sufficient conditions for the extension ofP to an invariant manifold of the form (x, s (x, z), z). Hereby we assume that the spectrum σA ofA is located to the left and the spectrum σb ofB to the right of a vertical straight linel in ℂ. In the case where the spectrum σC ofC lies to the left ofl too such an extension ofP is rather simple. We consider the situation where σA ∪ σC cannot be separated from σB by a vertical line in ℂ.ZusammenfassungFür Systeme der Form $$\dot x$$ =Ax +F1(x, y, z), $$\dot y$$ =By +F2(x, y,z), $$\dot z$$ =Cz +F3(x, y, z) mitP = {(0,0,z)} als invarianter Mannigfaltigkeit geben wir Bedingungen an, unter welchen sichP zu einer invarianten Mannigfaltigkeit der Form (x, s (x, z), z) fortsetzen läßt. Wir gehen stets davon aus, daß das Spektrum σA vonA links und das Spektrum σB vonB rechts einer vertikalen Geradenl in ℂ liegen. Eine derartige Fortsetzung vonP ist einfach, falls das Spektrum σC vonC ebenfalls links vonl liegt. Wir untersuchen den Fall, in welchem σA ∪ σC sich nicht durch eine vertikale Gerade von σB trennen läßt.