Automates cellulaires sur graphes de Cayley

Deux notions de reseaux d'automates apparaissent souvent dans la litterature. Les automates cellulaires, automates finis places sur les sommets de z, z#2,, z#n, et qui communiquent suivant les directions principales de l'espace. La seconde notion est celle de graphe d'automates ou, aux sommets d'un graphe quelconque de degre borne, on place des automates finis qui communiquent par les aretes. La premiere notion ne fonctionne que sur des graphes tres pauvres, la seconde pose le probleme suivant : les cellules ne connaissent pas l'allure du graphe autour d'elles. Voila pourquoi nous avons decide d'etudier les automates cellulaires definis sur des graphes de Cayley qui sont des graphes modulaires regulierement colories par des generateurs d'un groupe de presentation finie. Notre these comporte trois parties: dans la premiere, nous generalisons la notion d'automates cellulaires unidirectionnels sur les graphes de Cayley. Nous donnons des resultats sur la vitesse de simulation d'un automate cellulaire par un automate cellulaire unidirectionnel dans le cas de graphes usuels, en particulier, les graphes hexagonaux et triangulaires. Nous donnons dans le cas general des conditions necessaires et des conditions suffisantes pour que de telles simulations soient possibles sur des graphes de Cayley quelconques. Dans la seconde partie, nous etudions la notion de simulation d'un reseau d'automates par un autre. Cette notion est relativement difficile a cerner, nous l'etudions pour les automates cellulaires definis sur les graphes de Cayley correspondants aux pavages archimediens. Cela nous amene a montrer que tous ces graphes sont equivalents a la grille dans le plan. Nous donnons aussi des conditions suffisantes pour l'existence de telles simulations en terme de morphismes a noyau fini et de morphismes presque surjectifs. Nous etudions aussi les cas de structures finies et periodiques comme les tores d'automates generalises. Dans la derniere partie, nous montrons comment synchroniser des chemins de longueur minimale entre deux points d'un graphe de Cayley. Pour cela, une difficulte algorithmique apparait, elle est due a l'apparition de culs-de-sac dans le graphe de Cayley, c'est-a-dire de points a distance n de l'origine dont aucun des voisins n'est a distance n + 1