Über die Realisierung und Konvergenz von Mehrschrittverfahren zur iterativen Lösung nichtlinearer Gleichungen

Es wird zunachst der Begriff einer konsistenten m-Schritt-Approximation fur die Ableitung einer n-dimensionalen Vektorfunktion F definiert. Indem die beim Newton-Verfahren benutzten Ableitungen durch solche Approximationen ersetzt werden, entstehen ableitungsfreie Verfahren zur Nullstellenbestimmung von F, die bei geeigneter Wahl von gewissen Diskretisierungsparametern lokal sogar mit einer Ordnung groser als eins konvergieren. Auf der Grundlage einer Idee von Danilin und Psenicnyi werden konkrete Realisierungen von Mehrschrittapproximationen angegeben, die sich in aufeinanderfolgenden Iterationsschritten nur um eine Matrix vom festen Rang (1 ≦ l ≦ n) unterscheiden. Als Sonderfall ordnet sich ein als „stabilisiertes Sekantenverfahren” bezeichnetes Verfahren vom Rang-Eins-Typ ein, das sich in einigen numerischen Beispielen dem Verfahren von Broyden deutlich uberlegen zeigt. Abschliesend wird ein spezielles gedampftes m-Schritt-Verfahren angegeben und dessen globale Konvergenz bewiesen. At the beginning, the concept of a consistent m-step-approximation to the derivative of a n-dimensional vector function F is developed. By substituting the Jacobian matrices used in Newtons method by such approximations, derivative-free methods for finding a root of F originate. If the discretization step size is properly chosen the methods converge with an order greater than 1. Following an idea by Danilin and Psenicnyi some realization of multistepapproximations are given which in consecutive steps differ only by a matrix of fixed rank l (1 ≦ l ≦ n). As a special case, here a method of rank-1-typ is contained which is a modification of the second method. Some numerical examples show that this “stabilized secant method” appears to be superior to the well known Broyden method. Finally, a damped variant of m-step-methods is given and its global convergence is proved.