Some implementations of projection methods for Navier-Stokes equations

Dans cet article on s'interesse a quelques opproximations spatiales des methodes de projections du type Chorin-Temam. On s'interesse plus particulierement a l'etape de projection, qui sert a imposer l'incompressibilite. Trois types d'approximations variationnelles sont etudiees. Dans la premiere on resout l'etape de projection sous la forme d'un probleme de Darcy avec des vitesses test satisfaisant une condition de Dirichlet (a premiere vue) paradoxale. Dans la seconde approche, le probleme est encore resolu sous sa forme div-grad (i.e. Darcy) mais les vitesses test satisfont cette fois-ci une condition a la frontiere portant uniquement sur la camposante normale. Dans la troisieme methode, l'etape de projection est resolue sous la forme d'une equation de Poisson avec une condition de Neumann. On montre que la premiere methode est legitime pour des approximations par elements finis, alors que la seconde a de l'interet aussi pour des approximations spectrales. La troisieme methode est probablement la plus aisee a mettre en oeuvre puisque qu'elle permet d'eviter l'inversion d'une matrice de masse qui est obligatoire pour les deux autres. Bien que les deux dernieres methodes n'imposent pas directement de compatibilite entre les espaces de vitesse et de pression, on montre qu'une telle condition est necessaire pour assurer la convergence de la methode. Finalement on montre quelques liens entre ces algorithmes et certaines techniques de preconditionnement de l'operateur d'Uzawa. AMS(MOS) subject classifications. 35A40. 35Q10. 65J15.