Schémas de subdivision, analyses multirésolutions non-linéaires. Applications

Les schemas de subdivisions ont ete initialement introduits pour construire par iteration, des courbes ou des surfaces a partir de points de controle. Ils sont apparus comme etant un ingredient de base dans la definition d'analyses multiresolutions, avec comme application l'approximation et la compression des images. Dans la construction de courbes ou dans la compression d'images, la convergence du schema de subdivision vers une fonction continue, la regularite de cette fonction, la stabilite et l'ordre du schema sont des proprietes cruciales. Les schemas lineaires presentant une importante limitation (ils creent des oscillations au voisinage de forts gradients ou de discontinuite qui se traduit par des zones de flous pres des contours dans la compression d'images), on s'est alors interesse a des schemas non-lineaires. S'inscrivant dans la lignee des theories concernant les schemas non- lineaires, on a developpe dans ce travail des theoremes de convergence, de regularite, de stabilite et d'ordre pour une classe de schemas non-lineaires s'ecrivant sous la forme d'une somme d'un schema lineaire et d'une perturbation non-lineaire. Nous avons ensuite applique ces resultats a l'etude de proprietes de schemas non-lineaires existants, ou que nous avons contruits pour repondre au probleme d'oscillations ou aux problemes de regularite. Une premiere application concerne la compression d'images. On s'est propose d'etudier la stabilite de l'analyse multiresolution bidimensionnelle associee a cette classe de schemas non-lineaires, puis d'appliquer les theoremes etablis et d'observer numeriquement, les benifices obtenus par rapport a des analyses multiresolutions lineaires. Enfin, une deuxieme application concerne la construction d'operateurs aux differences finies ayant une erreur homogene sur des grilles non-uniformes, a partir un operateur donne et d'un schema de subdivision.