Beiträge zum Steuerungsentwurf ür lineare, örtlich verteilte Systeme mit konzentrierten Stelleingriffen

Der modellbasierte Steuerungsentwurf hat in den letzten Jahren, vor allem im Rahmen des flachheitsbasierten Zugangs zur Regelung nichtlinearer Systeme, verstärkte Beachtung gefunden. Die Dissertation behandelt diese Problemstellung für lineare, örtlich eindimensionale Systeme mit verteilten Parametern – einige Ergebnisse wurden bereits in dieser Zeitschrift veröffentlicht. Die untersuchten Modelle sind als Systeme partieller Differenzialgleichungen (pDgln.) mit Randbedingungen gegeben. Die Stellgrößen, die ausschließlich von der Zeit abhängen, können sowohl in den Randbedingungen als auch als Inhomogenitäten in den pDgln. auftreten – es werden also auch solche Systeme behandelt, bei denen konzentrierte Stelleingriffe örtlich gewichtet wirken. Zur Behandlung der betrachteten Problemstellung wird ein Zugang gewählt, der dem flachheitsbasierten Steuerungsentwurf für Systeme mit konzentrierten Parametern sehr ähnlich ist. Wie bei diesen werden spezielle Trajektorien der Modellgleichungen berechnet, die die gegebene Steuerungsaufgabe lösen. Das schließt die Stellgrößentrajektorien ein. Die Parametrierung der Trajektorien wird durch die Verwendung so genannter Basisgrößen vereinfacht. Für diese können Trajektorien frei gewählt werden – wie für den flachen Ausgang eines endlichdimensionalen Systems. Um Basisgrößen einzuführen, wird zunächst eine Lösung der pDgln. bestimmt, indem ein zugehöriges Anfangswertproblem bezüglich der Ortsvariablen allgemein gelöst wird. Um diesen Schritt und die Notation zu vereinfachen, werden Mikusinski-Operatoren als verallgemeinerte Funktionen verwendet. Dies ermöglicht außerdem die Formulierung eines allgemeinen algebraischen Rahmens zur Berechnung der Steuerung, wobei eine explizite Darstellung der Lösung der betrachteten Anfangswertaufgabe zunächst nicht benötigt wird. Stattdessen wird lediglich vorausgesetzt, dass sie als Linearkombination der „Anfangswerte“ und der konzentrierten Systemgrößen dargestellt werden kann, wobei die Werte der Koeffizientenfunktionen Operatoren mit kompaktem Träger sind. Dies können beispielsweise konzentrierte und verteilte Totzeitoperatoren, aber auch Potenzreihen im Differenzialoperator bezüglich der Zeit sein. Aus der allgemeinen Lösung der Anfangswertaufgabe und den Randbedingungen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem. Dessen Koeffizienten sind erneut Operatoren mit kompaktem Träger. Anhand dieses Gleichungssystems werden schließlich die Basisgrößen eingeführt. Der flachheitsbasierte Ansatz erlaubt im endlichdimensionalen Fall eine sehr einfache Parametrierung von Übergängen zwischen Ruhelagen: Wählt man als Trajektorie für den flachen Ausgang eine Funktion, die zwei konstante Werte verbindet, so ergeben sich derartige Trajektorien auch für alle übrigen Systemgrößen. Eine entsprechende Parametrierung von Übergangsvorgängen wird für verteiltparametrische Systeme dadurch erreicht, dass die Basisgrößen so eingeführt werden, dass nicht durch Operatoren mit kompaktem Träger dividiert werden muss. Die numerische Umsetzung der beschriebenen Methoden hängt vom Typ der gegebenen pDgln. ab, dazu werden verschiedene Ansätze untersucht. Für parabolische Gleichungen können Reihendarstellungen im Differenzialoperator bezüglich der Zeit verwendet werden, aus denen sich schließlich Darstellungen ergeben, in denen Zeitableitungen beliebiger Ordnung der Basisgrößen auftreten. Im Rahmen dieser Arbeit werden nicht nur Möglichkeiten zur Berechnung der Koeffizienten angegeben, sondern auch die Bedingungen für die Konvergenz der verwendeten Reihen untersucht. Dabei ergibt sich einerseits, dass zur exakten Parametrierung von Lösungen nur solche C ∞-Funktionen als Trajektorien für die Basisgrößen in Frage kommen, die einer geeigneten Gevrey-Klasse angehören. Andererseits wird gezeigt, dass näherungsweise Lösungen auch mit Hilfe von Polynomen parametriert werden können, wodurch der Rechenaufwand erheblich reduziert werden kann. Die Methode der Reihenentwicklungen bezüglich des Differenzialoperators ist nicht für hyperbolische pDgln. geeignet. Diese führen stattdessen auf Lösungen mit konzentrierten und verteilten Totzeiten und Prädiktionen, also Darstellungen in denen zeitverschobene Werte der Basisgrößen