Inverse problems, Ill-posedness and regularization – an illustrative example

SummaryWhenever one is confronted with the necessity to measure some quantities, which are not accessible directly, however, are linked via a mathematical model to some measurement data, one has to solve an inverse problem. In this context we speak of a direct problem, when expected measurement data are calculated from a mathematical model, when the not directly accessible quantities are given and, on the other hand, of an inverse problem, when these quantities are calculated from measured data via the mathematical model. In this paper the principles of inverse problems are explained on the basis of a one-dimensional image restoration problem, which is a linear problem and hence is easy to understand. Furthermore, the term ill-posedness will be explained and some possibilities to attain reasonable solutions to ill-posed problems are discussed.ZusammenfassungWann immer man mit der Aufgabe konfrontiert ist, nicht-direkt erfassbare Daten, die aber über ein mathematisches Modell mit direkt messbaren Größen verlinkt sind, messen zu müssen, muss man ein inverses Problem lösen. In diesem Zusammenhang spricht man von einem direkten Problem, wenn man mit Vorgabe der nicht-direkt erfassbaren Größen über ein mathematisches Modell die zu erwartenden Messdaten berechnet, und umgekehrt von einem inversen Problem, wenn man aus den Messdaten – wieder über den Umweg über dasselbe mathematische Modell – die nicht-direkt erfassbaren Größen berechnet. In diesem Beitrag werden die Grundzüge von inversen Problemen anhand eines linearen eindimensionalen Image-Restoration-Problems dargelegt. Weiters werden der Ausdruck Schlechtgestelltheit erklärt und Möglichkeiten, zu annehmbaren Lösungen für schlechtgestellte Probleme zu kommen, diskutiert.