Stating and manipulating periodicity in the polytope model : Applications to program analysis and optimization

Cette these est centree sur les objets mathematiques formes de l'intersection entre un polyedre rationnel dependant de parametres et un reseau regulier de points a coordonnees entieres: les Z-polyedres parametriques. Ces objets sont utilises en compilation ou ils permettent de modeliser les nids de boucles for/do (on parle du "modele polyedrique"), afin d'analyser leur comportement, et de les transformer pour les optimiser ou les paralleliser. Cette these contribue a l'amelioration de ce modele en introduisant le concept de polyedre periodique, qui traduit le caractere periodique des coordonnees de points entiers extremaux du Z-polyedre. Ce concept est d'abord utilise pour definir le premier algorithme de calcul de la coque entiere d'un Z-polyedre parametrique P, c'est a dire l'enveloppe convexe des points contenus dans P. Dans le meme cadre, nous nous interessons aux polynomes d'Ehrhart, qui donnent le nombre de points a coordonnees entieres contenus dans P et qui possedent un caractere periodique. Certaines observations fines sur le caractere periodique de la coque entiere de P nous permettent d'etendre une conjecture prononcee par Ehrhart et qui donne des informations precises sur la periodicite des coefficients. Nous en derivons une condition pour laquelle le polynome d'Ehrhart d'un Z-polyedre est non-periodique, et en deduisons deux methodes d'approximation d'un polynome d'Ehrhart par un polynome non-periodique. Dans l'un des cas, nous donnons egalement un algorithme de calcul de ce polynome dont la complexite est polynomiale en dimension fixee. D'autre part, l'ensemble des solutions faisables d'un probleme de programmation lineaire parametrique en nombre entiers est un Z-polyedre S. La solution optimale est donnee par un un point extremal de S, qui depend periodiquement des parametres. Notre approche est de considerer un probleme general, englobant le probleme du maximum lexicographique et la forme classique de la programmation lineaire en nombre entiers. Nous donnons un nouvel algorithme de calcul d'une solution optimale de ce probleme.