01 - Calcul des variations et analyse spectrale : équations de Fourier et de Burgers pour modèles autorégréssifs régularisés

Nous proposons une reformalisation de l'analyse spectrale autoregressive regularisee dans le cadre de l'approche variationnelle en considerant le polynome autoregressif comme une transformation du cercle complexe unite en une courbe parametrique fermee et orientee dans le plan complexe (theorie globale des courbes planes fermees : classe d'equivalences d'immersions du cercle complexe unite dans le plan Euclidien). Nous montrons que l'Equation d'Euler-Lagrange associee nous ramene a la solution par moindres carres regularises classique. Nous posons ensuite le probleme sous une forme geometrique intrinseque pour laquelle la solution est definie comme une geodesique minimale particuliere dont la metrique depend explicitement du terme d'adequation aux donnees. Le calcul des variations alors, en redefinissant la notion de courbure d'une fonction complexe, une equation aux derivees partielles (EDP) de type « flot de courbure moyenne ». La discretisation du probleme via la transformee en Z aboutit a une EDP agissant sur le vecteur des parametres autoregressifs. Cette seconde approche permet de s'affranchir de l'optimisation de l'hyperparametre de regularisation intervenant dans l'approche de Tikhonov classique, en stoppant l'EDP des que sa vitesse d'evolution est ralentie. Le second avantage reside dans la formalisation EDP qui permet naturellement l'estimation continue, en ligne, du spectre au rythme du flot des donnees. L'extension de cette formalisation au Cepstre, dont la distance induite ainsi que celle du retard de groupe sont tres utilisees en signal, fait apparaitre le cepstre differentiel comme la transformation de Hopf-Cole du polynome autoregressif et induit donc une evolution associee selon l'equation de Burgers conditionnellement aux donnees. Nous concluons en utilisant l'interpretation de l'integration complexe par Polya en terme de flux et de travail d'un champ de vecteurs pour montrer que la regularisation tend a rendre non-divergent et irrotationnel le champ de vecteurs autoregressifs conjugues sur le cercle complexe unite.