The optimum strategy for choosing the maximum ofN independent random variables

SummaryIn this paper the problem of choosing the maximum of a given number of Random Variables (R.V.'s) has been considered when they are presented sequentially and their distribution is known. Only one R.V. can be accepted and in each case when a R. V. is presented it is either accepted, or rejected never to be accepted later. The strategy which maximizes the probability of obtaining the largest R. V. is obtained and called the optimum strategy. When this optimum strategy is followed, the probability of choosing any particular order statistic is determined and shown to be independent of the distribution of the R. V.'s. The asymptotic distribution of the order statistic chosen is found and selected probabilities listed in the Tables. Also included is a table of the optimum strategy and a graph of the number of R. V.'s to be sampled if one wishes the R. V. chosen to be in the top α fraction of the population with a given probability.ZusammenfassungIn dieser Arbeit wird das Problem der Wahl des Maximums einer gegebenen Anzahl von unabhängigen, identisch verteilten, Zufallsvariablen behandelt. Diese Zufallsvariablen sollen der Reihe nach vorgestellt werden. Ihre Verteilung ist bekannt. Jede Zufallsvariable kann entweder angenommen werden, oder sie ist für immer verloren. Hat man einmal eine bestimmte Zufallsvariable angenommen, so kann keine zweite mehr angenommen werden. Die Strategie, die die Wahrscheinlichkeit maximiert, daß man unter den gegebenen Zufallsvariablen die größte findet, wird entwickelt und optimale Strategie genannt. Es wird die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt, daß man bei Vorgehen nach dieser optimalen Strategie eine bestimmte Ranggröße erhält, und dabei gezeigt, daß sie unabhängig ist von der Verteilung der Zufallsvariablen. Es wird die asymptotische Verteilung der gewählten Ranggrößen bestimmt und die Wahrscheinlichkeit auszugsweise tabelliert. Beigefügt ist eine Tabelle für die optimale Strategie und eine graphische Darstellung der Anzahl der Zufallsvariablen, die man höchstens prüfen muß, wenn man wünscht, daß bei gegebener Wahrscheinlichkeit die gewählte Zufallsvariable über einer α-Fraktile liegt.