Projektionsverfahren zur Approximation von Matrixfunktionen mit Anwendungen auf die Implementierung exponentieller Integratoren

In dieser Arbeit werden Approximationen an Produkte von Matrixfunktionen mit Vektoren mit Krylovverfahren betrachtet. Motiviert wird diese Betrachtung dadurch, dass die effiziente Berechnung dieser Approximationen wesentlich fur die Implementierung exponentieller Integratoren ist. Als Erstes wird ein Restartverfahren hergeleitet und dessen superlineare Konvergenz gezeigt. Scharfe Fehlerschranken und eine Deflated Variante werden anschliesend angegeben. Ebenfalls motiviert durch exponentielle Integratoren zur Losung semilinearer, parabolischer Differentialgleichungen ist die Entwicklung von Verfahren zur Approximation von Produkten einer Matrixfunktion mit verschiedenen Vektoren, die Auswertungen einer glatten Funktion in den Knoten einer Quadraturformeln sind. Wir stellen zwei neue Verfahren dar, die ausgehend von einem Krylovraum der Matrix und des ersten Vektors die folgenden Approximationen mit deutlich geringerem Aufwand berechnen, als bei einer naiven Implementierung, die zuvor berechnete Krylovraume nicht ausnutzt. Das erste Verfahren ist ein Lanczos-Galerkin Projektionsverfahren. Fur dieses Verfahren geben wir einen Konvergenzbeweis und scharfe Fehlerschranken an und entwickeln Varianten, die effiziente und robuste Implementierungen erlauben. Das zweite neue Verfahren ist ein Orthogonalprojektionsverfahren. Dieses verwendet die QR-Zerlegung der Vektoren. Fur die Erstellung eines Abbruckkriteriums benotigen wir eine genaue theoretische Analyse der Faktoren der QR-Zerlegung. Dies gilt insbesondere fur Varianten dieses Verfahrens, die wir durch das Verwenden von Restarts, Up-/Downdating Methoden und/oder der Hinzunahme von Ritzvektoren konstruieren. Bei allen neu vorgestellten Verfahren ist die groste Schwierigkeit, dass fur Matrixfunktionen kein Residuum zur Verfugung steht und wir deshalb viele in der Literatur vorgeschlagene Techniken fur Verfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme nicht direkt verwenden werden konnen. Daher stellen wir die Matrixfunktion in der Cauchy-Integralformel dar und betrachten die Residuuen der verschobenen, linearen Gleichungssysteme innerhalb dieser Integraldarstellung. Schlieslich werden umfangreiche numerische Beispiele prasentiert. Es stellt sich heraus, dass mit den neu vorgeschlagenen Techniken die Ersparnis beim Rechenaufwand gegenuber einer naiven Implementierung uber 90% liegen kann. Es wird erstmals gezeigt, dass exponentielle Integratoren auch fur solch grose Beispiele konkurrenzfahig sind.