A theorem concerning approximation on the sphere

AbstractРассматривается тео рема типа Джексона и е е обращение на единичной сфереσn−1≡σ пространстваRn. Сфери ческий сдвигSyf(μ) фун кцииf(μ)∈Lp(σ), 1≦p≦∞, определяе тся как среднее значениеf(μ′) на «окружности»μ μ′=cosγ, μ,μ′∈σ. Для того, чтобы при 2k>г-2ϱ>0 выполнялось нер авенство $$\left\| {(S_\gamma - E)^k D^\varrho f} \right\|L_p \left( \sigma \right) \leqq M\gamma ^{r - 2\varrho } $$ (гдеE — единичный опер атор, D - оператор Лапласа—Бельтрами) н еобходимо и достаточ но, чтобы наилучшее приб лижение функциf в мет рикеLp(σ) полиномами порядкаv по сферическим гармоникам подчинял ось оценке $$E_v \left( f \right)_p \leqq \frac{K}{{v^r }} \left( {v = 1, 2, \ldots } \right).$$ Полное доказательст во дано приp=2.