Structures algébriques dynamiques, espaces topologiques sans points et programme de Hilbert

Resume Une maniere pertinente de revisiter le Programme de Hilbert serait la suivante: « donner une semantique constructive pour les mathematiques classiques ». Plus precisement donner une interpretation systematique des preuves classiques abstraites (qui utilisent le principe du tiers exclu et l’axiome du choix) au sujet des objets abstraits, en terme de preuves constructives au sujet de contreparties constructives de ces objets abstraits. Si ce programme est rempli, nous sommes capables « a la fin de l’histoire » d’extraire des preuves constructives de resultats concrets a partir des preuves classiques abstraites de ces resultats. Les structures algebriques dynamiques, ou ce qui revient a peu pres au meme les theories geometriques, semblent etre un bon outil pour realiser ce travail. Dans cette optique, les objets abstraits des mathematiques classiques sont remplaces par des specifications incompletes mais concretes de ces memes objets. La structure des theories geometriques donne naissance de maniere naturelle a des treillis distributifs et a des espaces topologiques sans points. Les objets abstraits utilises par les mathematiques classiques correspondent aux points classiques de ces espaces sans points. Dans cet article, nous illustrerons ce phenomene principalement avec le spectre de Zariski des treillis distributifs et celui des anneaux commutatifs, en indiquant notamment un equivalent constructif de la notion de dimension de Krull. Nous insistons sur le caractere extremement general de l’interpetation des objets abstraits ideaux des mathematiques classiques comme des points d’espaces spectraux associes a des treillis distributifs qui sont definis de facon naturelle et concrete. Souligons deux faits d’experience importants. Tout d’abord, les preuves abstraites au sujet des points de ces espaces sans points peuvent en general (toujours?) etre relues comme des preuves concernant les parties constructibles de ces espaces. Enfin, les espaces de fonctions continues sur ces espaces sans points sont souvent utilises dans d’elegantes theories abstraites. Ces espaces de fonctions sont bien definis constructivement. Cela tient au « theoreme de compacite » qui nous dit que dans le cadre en question « tout est fini ». La relecture constructive des preuves abstraites n’est alors rien d’autre que la constatation que les axiomes geometriques sont utilises de maniere correcte.