Strong approximation ofGSBV functions by piecewise smooth functions

SuntoSia Ω un aperto limitato diRn con frontiera localmente Lipschitziana. In questo lavoro si dimostra che le funzioniv∈SBV(Ω,Rm) con insieme di saltoSv essenzialmente chiuso e poliedrale che sono di classeWk, ∞ (Sv,Rm) per ogni interok sono fortemente dense inGSBVp(Ω,Rm), nel senso che ogni funzioneu∈GSBVp(Ω,Rm) è approssimata inLp(Ω,Rm) da una successione di funzioni {vj}j∈N con la regolaritá descritta tali che i gradienti approssimati ∇vjconvergono inLp(Ω,Rnm) al gradiente approssimato ∇u e la misura (n−1)-dimensionale degli insiemi di saltoSvjconverge alla misura (n−1)-dimensionale diSu. La struttura diSvpuó essere migliorata nel caso in cuip≤2.AbstractLet Ω be an open and bounded subset ofRn with locally Lipschitz boundary. We prove that the functionsv∈SBV(Ω,Rm) whose jump setSvis essentially closed and polyhedral and which are of classWk, ∞ (Sv,Rm) for every integerk are strongly dense inGSBVp(Ω,Rm), in the sense that every functionu inGSBVp(Ω,Rm) is approximated inLp(Ω,Rm) by a sequence of functions {vk{j∈N with the described regularity such that the approximate gradients ∇vjconverge inLp(Ω,Rnm) to the approximate gradient ∇u and the (n−1)-dimensional measure of the jump setsSvj converges to the (n−1)-dimensional measure ofSu. The structure ofSv can be further improved in casep≤2.