Prelude to dimension theory: The geometrical investigations of Bernard Bolzano

AbstractThis paper treats Bernard Bolzano's (1781–1848) investigations into a fundamental problem of geometry: the problem of adequately defining the concepts of line (or curve), surface, solid, and continuum. Bolzano's interest in this problem spanned most of his creative lifetime. In this paper a full discussion is given of the philosophical and mathematical motivation of Bolzano's problem as well as his two solutions to the problem. Bolzano's work on this part of geometry is relevant to the history of modern mathematics, because it forms a prelude to the more recent development of topological dimension theory.

[1]  Bernard Bolzano.  Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie , 2022 .

[2]  Bernard Bolzano.  Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege , 1817 .

[3]  Leçons sur les applications du calcul infinitésimal a la géométrie , 1826 .

[4]  Bernard Bolzano.  Versuch einer objectiven Begründung der Lehre von den drei Dimensionen des Raumes , 2022 .

[5]  O. Stolz.  B. Bolzano's Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , 1881 .

[6]  G. Cantor.  Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten , 1883 .

[7]  Cantor.  Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. Fortsetzung. , 1883 .

[8]  Thomas L. Heath,et al.  Thirteen Books of Euclid's Elements , 1911, The Mathematical Gazette.

[9]  K. Menger.  Grundzüge einer Theorie der Kurven , 1926 .

[10]  E. Winter.  Bernard Bolzano : und sein Kreis , 1933 .

[11]  G. Cantor,et al.  Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , 1934 .

[12]  Witold Hurewicz,et al.  Dimension Theory (PMS-4) , 1942 .

[13]  Bernard Bolzano,et al.  Leben und Geistige entwicklung des sozialethikers und Mathematikers Bernard Bolzano, 1781-1848 , 1949 .

[14]  Thomas L. Heath.  Mathematics in Aristotle , 1949 .

[15]  J. Berg.  Bolzano's logic , 1962 .

[16]  J. Lagrange.  Théorie des fonctions analytiques , 1967 .

[17]  J. Schultz.  Prüfung der Kantischen Critik der reinen Vernunft , 1968 .

[18]  E. Winter.  Bernard Bolzano : ein Lebensbild , 1969 .

[19]  Charles Coulston Gillispie,et al.  Dictionary of scientific biography , 1970 .

[20]  Bernard Bolzano,et al.  Theory of Science , 1973 .

[21]  E. Morscher.  Das Logische an-sich bei Bernard Bolzano , 1973 .

[22]  Bernard Bolzano.  Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik , 1974 .

[23]  P. Kitcher.  Bolzano's ideal of algebraic analysis☆ , 1975 .