Automates Cellulaires Probabilistes : mesures stationnaires, mesures de Gibbs associées et ergodicité

Utilises dans de nombreux domaines scientifiques, les Automates Cellulaires Probabilistes, usuellement abreges en PCA, de l'anglais "Probabilistic Cellular Automata", constituent, au sein des dynamiques aleatoires a temps discret, une classe de systemes infinis de particules, c'est a dire de processus stochastiques markoviens a valeurs dans un espace infini S^G ou S designe un ensemble fini et G est un graphe infini. On considere ici toujours le cas ou G=Z^d. La particularite de ces dynamiques est l'evolution en parallele, ou synchrone, de chacune des coordonnees ou composants elementaires en interaction. Nous nous interessons dans un premier temps a l'existence et a l'unicite des mesures stationnaires pour les dynamiques PCA non degenerees i.e. dont le comportement local n'est jamais deterministe, ainsi qu'a la caracterisation de ces etats d'equilibre en tant que mesures gibbsiennes. Nous fondant sur les resultats de Dai Pra, Kozlov, Kunsch, Lebowitz, Vasilyev et al., nous precisons, pour la classe des dynamiques PCA reversibles, les relations existant entre les mesures stationnaires, les mesures reversibles et les mesures de Gibbs associees a un potentiel dont le lien avec la dynamique est explicite. Pour une famille parametree de dynamiques PCA reversibles, nous demontrons l'existence d'un phenomene de transition de phase et explicitons dans ce cas le comportement de differentes mesures de Gibbs sous l'action de ces dynamiques. En particulier, nous exhibons des mesures de Gibbs non-stationnaires. Dans un second temps, nous etudions l'ergodicite, i.e. la convergence vers l'equilibre des dynamiques PCA qui sont de plus attractives. Nous construisons a cet effet un couplage de ces dynamiques preservant l'ordre stochastique. En nous referant aux travaux de Martinelli et Olivieri pour les dynamiques de Glauber, nous etablissons qu'en l'absence de transition de phase, des que l'unique mesure de Gibbs verifie une condition de faible melange, il y a ergodicite et convergence a vitesse exponentielle vers cet unique etat d'equilibre, ameliorant en cela grandement les criteres d'ergodicite pour les PCA existant dans la litterature. Enfin, nous illustrons ces resultats par la realisation de simulations numeriques de certaines des dynamiques reversibles precedemment etudiees, et presentons un algorithme parallele convergeant vers les mesures de Gibbs extremales du modele d'Ising.