On the cost of evaluating polynomials and their derivatives

Reducing the number of multiplications for the evaluation of a polynomial and its derivatives does not necessarily mean that one should expect a commensurate reduction of the total cost of computation. In this paper we present a cost analysis for a family of algorithms, which computes all derivatives of a polynomial in 3n−2 multiplications or divisions. This represents an improvement over the classical methods, which require 1/2n(n+1) multiplications. The analysis, however, reveals the presence of a multiplications-divisions cost trade-off due to which the cost complexity remainsO(ξ2n3) for all algorithms irrespective of any reduction in the number of arithmetic operations.ZusammenfassungDie Verminderung der Zahl der Multiplikationen bei der Berechnung eines Polynoms und seinen Ableitungen bringt nicht unbedingt eine entsprechende Verminderung der gesamten Berechnungskosten. In dieser Arbeit werden Kosten-Analysen einer Algorithmen-Familie vorgestellt, die alle Ableitungen eines Polynoms mit 3n−2 Multiplikationen oder Divisionen berechnet. Dies repräsentiert eine Verbesserung im Vergleich mit den klassischen Methoden, die 1/2n(n+1) Multiplikationen benötigen. Jedoch offenbart die Analyse die Gegenwart eines Ausgleichs zwischen den Kosten der Multiplikationen bzw. Divivionen und den übrigen Kosten. Dadurch bleibt die Komplexität für alle AlgorithmenO(ξ2n3), wie stark auch immer die Verminderung der Zahl der arithmetischen Operationen ist.